Tratando de demostrar que cualquier grupo de orden cuatro es cíclico o isomorfo a V

Question

Conozco la pregunta ya se ha preguntado . Pero tengo problemas con la respuesta.

Tener un grupo no cíclico $\,G=\{1,a,b,c\}\,$ ¿cómo puedo demostrar que $ab=c$ ?

En mi intento, asumo que $ab=1$ y luego $c^2=1$ . Y no veo ningún problema en ello. ¿Qué me falta?

UPD: ¿es posible prescindir del teorema de Lagrange?

Answer 1

Por el teorema de Lagrange, debemos tener que el orden de $a$ es $2$ o $4$ . Pero si fuera $4$ el grupo sería cíclico, por lo que el orden de $a$ es $2$ es decir $a^2 = 1$ . Así que si usted asume $ab = 1$ se obtiene $a = a1 = aab = a^2 b = b$ , una contradicción (la hipótesis de partida es que $G$ tiene cuatro diferente elementos, por supuesto). Así que $ab$ no puede ser $1$ . No puede ser $a$ tampoco, porque $ab = a = a1 \implies b = 1$ y tampoco puede ser $b$ . Así que tiene que ser $c$ .

Answer 2

He aquí un argumento "no Lagrange":

Elija un elemento $a \neq 1$ y considerar la secuencia $a$ , $a^2$ , $a^3$ , $a^4$ , $a^5$ . Desde $G$ sólo tiene cuatro elementos distintos, éstos no son todos distintos; debe haber $i$ , $j$ tal que $a^i$ = $a^j$ . Multiplicando por la inversa de $a$ repetidamente si es necesario, podemos suponer $i$ =1. Ahora bien:

a) $a$ = $a^2$ --> 1= $a$ --> CONTRADICCIÓN.

b) $a$ = $a^4$ --> $a^3$ =1 --> 1, $a$ y $a^2$ son elementos distintos de $G$ . Hay un elemento más $b$ de $G$ diferente de todos estos. Pero entonces $b$ , $ba$ y $ba^2$ son elementos distintos de $G$ . Desde 1, $a$ , $a^2$ y $b$ escapes $G$ , $ba$ y $ba^2$ deben ser cada una de ellas; pero cualquier igualdad de este tipo debe implicar otra que contradiga una suposición anterior. Ejemplo: 1= $ba$ implica $a^2$ =( $ba$ ) $a^2$ = $ba^3$ = $b$ --> CONTRADICCIÓN.

Por lo tanto, las únicas posibilidades aún no excluidas son $a$ = $a^3$ y $a$ = $a^5$ . Un poco de trabajo mostrará que cada uno de ellos da lugar a un grupo (intente calcular las tablas de productos). El primero da el grupo no cíclico, el segundo da el grupo cíclico.

Answer 3

Seguramente tenemos $a^2\ne a$ . Así que $a^2=1$ , $a^2=b$ o $a^2=c$ . Si $a^2\ne1$ no es restrictivo suponer $a^2=b$ . Así que podemos empezar a construir la tabla de Cayley: $$\begin{array}{c|cccc} & 1 & a & b & c \\ \hline 1 & 1 & a & b & c \\ a & a & b & & \\ b & b & & & \\ c & c & & & \end{array}$$ Podemos ver que $ab=c$ (de lo contrario $ab=1$ y nos quedaríamos con $ac=c$ una contradicción); por lo tanto $ac=1$ . Del mismo modo, $ba=c$ y $ca=1$ . $$\begin{array}{c|cccc} & 1 & a & b & c \\ \hline 1 & 1 & a & b & c \\ a & a & b & c & 1 \\ b & b & c & & \\ c & c & 1 & & \end{array}$$ Ahora nos vemos obligados a $b^2=1$ y $bc=a$ ; de forma similar, $cb=a$ ; por último, $c^2=b$ : $$\begin{array}{c|cccc} & 1 & a & b & c \\ \hline 1 & 1 & a & b & c \\ a & a & b & c & 1 \\ b & b & c & 1 & a \\ c & c & 1 & a & b \end{array}$$ Así, vemos que $a^0=1$ , $a^2=b$ , $a^3=c$ por lo que el grupo es cíclico.

Por lo tanto, para no tener un grupo cíclico necesitamos $a^2=1$ : $$\begin{array}{c|cccc} & 1 & a & b & c \\ \hline 1 & 1 & a & b & c \\ a & a & 1 & & \\ b & b & & & \\ c & c & & & \end{array}$$ Entonces debemos tener $ab=c$ y $ac=b$ ; de forma similar, $ba=c$ y $ca=b$ : $$\begin{array}{c|cccc} & 1 & a & b & c \\ \hline 1 & 1 & a & b & c \\ a & a & 1 & c & b \\ b & b & c & & \\ c & c & b & & \end{array}$$ Si $b^2=a$ estaríamos en la misma situación que antes, porque entonces $b^3=c$ y el grupo sería cíclico. Por lo tanto, para un grupo no cíclico debemos tener $b^2=1$ y $bc=a$ . Ahora podemos completar la tabla de Cayley: $$\begin{array}{c|cccc} & 1 & a & b & c \\ \hline 1 & 1 & a & b & c \\ a & a & 1 & c & b \\ b & b & c & 1 & a \\ c & c & b & a & 1 \end{array}$$ que muestra que el grupo es el grupo Klein.