Espacios de Berkovich de dimensión superior

Question

Estoy buscando una forma geométrica y topológica de hacer una visualización de los espacios de Berkovich de dimensión superior, empezando por el plano de Berkovich. Por supuesto, esto es sólo una colección de semi-normas acotadas, pero la pregunta sigue siendo:

¿Existe una visualización posible para $\mathbb A^2_{\text{Berk}}$ como el árbol ramificado infinito para $\mathbb A^1_{\text{Berk}}$ ?

(Para $\mathbb A^1_{\text{Berk}}$ véase, por ejemplo, Baker and Rumely's Teoría del potencial y dinámica en la línea proyectiva de Berkovich Capítulos 1 - 2.)

Creo que se obtiene un complejo simplicial, pero no sé exactamente cómo. Por un lado (leyendo la obra de Favre y Johnsson El árbol valorativo ), se tiene esta lista de valoraciones (por lo tanto, también de seminormas, aunque en este libro se tratan las seminormas sobre $\mathbb{C}^2$ ). Por otro lado tenemos la teoría de Berkovich de los puntos Tipo I - Tipo IV. Supongo que hay más puntos de tipo I - tipo IV en un plano (es decir, más seminormales que se dan como si fueran puntos de tipo I), y algunos sólo se pueden representar por caras (símplos bidimensionales), sólo que no sé cómo.

¿Hay referencias sobre la parte de visualización?

Answer 1

Ya que parece que no puedo editar mi propia pregunta. He encontrado un enlace que puede ser útil aquí:

• http://users.math.yale.edu/~sp547/pdf/Anayltification-tropicalizations.pdf en el que se construye un homeomorfismo entre $X^{an}$ (o $X_{Berk}$ ) y un límite inverso de tropicalizaciones de incrustaciones de subvariedades (tóricas) de $X(K)$ donde $K$ es el campo base. Payne sale primero al campo $\mathbb{C}((t^{\mathbb{R}}))$ (en la que, por ejemplo en $\mathbb{P}^1_{Berk,K}$ sólo hay puntos de Tipo 1 y Tipo 2), luego pasa a campos con normas triviales.

Answer 2

De hecho, creo que se obtienen más tipos de puntos. Los puntos de tipo I son simplemente puntos k, es decir, puntos tales que H(x)=k, tienes un hecho general que si l es algebraico sobre la terminación l' de grado de trascendencia n sobre k entonces la suma del grado de trascendencia de la reducción de l sobre la reducción de k y el rango de |l*| sobre |k*| es menor o igual que n.

En la recta proyectiva, como en todos los espacios analíticos 1-dimensionales, esto implica que sólo se tienen cuatro tipos de puntos (H(x)=k, O |H(x)*| aumento de un grado de trascendencia, O la reducción de H(x) aumento de "un rango", O H(x) es una extensión inmediata no trivial de k). Cuando n>1 usted puede tener entonces muchos más tipos de puntos, y el número de tipos aumenta cuando n crece.

Si quieres encontrar esa información general, hay un artículo de Temkin que es muy interesante.

Answer 3

@David. La mejor referencia que he podido encontrar (de cierta relevancia) es "The Valuative Tree" de Matthias Johnsson, que habla de normas sobre $\mathbb{C}[x,y]$ . Lo único que no queda claro es qué puntos son de tipo I, ... y IV.

No se obtienen más tipos (así que no hay Tipo V o algo así) [esto se demuestra en alguna parte del Análisis de Berkovich sobre espacios no arquimedianos], pero creo que se obtienen más puntos de Tipo I, más de Tipo II, etc.