Componente sistemático de la variación

Question

El apéndice del documento de McPherson et al (1982) (véase la captura de pantalla a continuación) contiene una derivación de la función Componente Sistemático de Variación (SCV) . Entiendo la derivación a excepción del primer paso. Aquí están los locales :

$O_i$ casos observados en la región i
$E_i$ casos previstos en la región i
$\lambda_i$ : factor multiplicativo asociado a la región i ( $O_i=\lambda_i*E_i$ )

Ahora supuestos se han hecho:

$O_i$ tiene una distribución aproximada de Poisson con media $\lambda_iE_i$
$\lambda_i$ se considera una variable aleatoria con valor esperado $1$ y varianza $\sigma^2$ .

De ellos, los siguientes fórmula se concluye:

var( $O_i$ ) = $E_i^2\sigma^2$ + $E_i$

He intentado averiguar cómo obtener la fórmula mediante las premisas y supuestos dados y no lo he conseguido. ¿Alguna idea?

Captura de pantalla de la derivación de McPherson:

Answer 1

Se trata simplemente de la ley de la varianza total: https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_variance

Has dado:

$E_i$ es una constante conocida

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}\E \lambda_i = 1$

$\DeclareMathOperator{\V}{\mathbb{V}}\V \lambda_i=\sigma^2 $

$\E(O_i | \lambda_i)=\lambda_i E_i$

$\V(O_i | \lambda_i) = \lambda_i E_i$

Utilizando esto con la ley de la varianza total obtenemos: $$ \V (O_i) = \E \V (O_i | \lambda_i) + \V \E (O_i | \lambda_i) \\ = \E (\lambda_i E_i) + \V (\lambda_i E_i) \\ = E_i \E(\lambda_i) + E_i^2 \V (\lambda_i) \\ = E_i + E_i^2 \sigma^2 \\ = E_i (1+\sigma^2 E_i) $$