Punto de vista functorial para esquemas formales

Question

Dar un esquema es lo mismo que dar el funtor correspondiente de la categoría de anillos a la categoría de conjuntos, y hay caracterización de qué funtores surgen de esta manera. Esto se explica en el libro de Demazure y Gabriel. Este "punto de vista functorial" es a veces muy útil, así que me preguntaba si hay algo similar para esquemas formales en lugar de esquemas algebraicos. Lo he buscado pero no he encontrado nada, parece que Demazure y Gabriel no hablan en absoluto de esquemas formales.

Ricky

Answer 1

Puedes probar a echar un vistazo a este documento:

http://arxiv.org/abs/math.AT/0011121

Es el artículo más functorial sobre geometría algebraica que he visto. Está escrito por un topólogo algebraico. Se interesa sobre todo por esquemas afines y formales.

La definición que buscas está en la sección 4 del documento. El punto de vista functorial para un esquema formal es un pequeño colímite filtrado de esquemas, el colímite tomado en la categoría de funtores.

Answer 2

Hay muchas generalidades no equivalentes en las que se puede definir un esquema formal; por ejemplo, las definiciones de Hartshorne y de EGA no son exactamente iguales. (Utilizo en esta respuesta algunas partes de mi propia redacción en nlab's entrada donde se pueden encontrar más referencias). A mi entender, sea cual sea la definición, la categoría de esquemas formales es una realización de cierta subcategoría de esquemas Ind. Típicamente se requiere al menos que el objeto-ind en la subcategoría puede representarse mediante un diagrama cuyos morfismos de conexión son inmersiones cerradas de esquemas. Un tratamiento bastante moderno se encuentra en

• A. Beilinson, V. Drinfel'd, Cuantización del sistema integrable de Hitchin y eigensheaves de Hecke en el sistema de Hitchin versión preliminar ( pdf )

Algunas subcategorías de objetos Ind en muchas categorías algebraicas se pueden describir poniendo la topología en objetos algebraicos. Así los anillos locales completos, o más en general el caso pseudocompacto, en la aproximación de Grothendieck a los esquemas locales. Se puede utilizar una versión topológica de Yoneda sobre anillos para obtener una bonita teoría de esquemas formales, sobre un anillo arbitrario:

• B. Pareigis, R. A. Morris, Grupos formales y álgebras de Hopf sobre anillos discretos Trans. Amer. Math. Soc. 197 (1974), 113--129 (doi: 10.2307/1996930 ).

Nikolai Durov sugiere utilizar directamente el enfoque Gabriel-Demazure pero no sobre Aff sino sobre lo opuesto a la categoría de pares (anillo conmutativo, ideal nilpotente). Los esquemas formales deberían ser una subcategoría apropiada de esa categoría de preeslabones. Esa categoría más amplia (pero sin destacar allí la subcategoría más pequeña que correspondería más precisamente a los esquemas formales de Grothendieck) se esboza en los capítulos 7-9 de

• N. Durov, S. Meljanac, A. Samsarov, Z. Škoda, Una fórmula universal para representar generadores de álgebras de Lie como series de potencias formales con coeficientes en el álgebra de Weyl Journal of Algebra 309, n. 1, 318--359 (2007) (doi: 10.1016/j.jalgebra.2006.08.025 ) ( math.RT/0604096 ).

Answer 3

Aunque esto no abarca todos los ejemplos, las terminaciones formales $\hat{X}_Y$ de un régimen $X$ a lo largo de un subesquema cerrado $Y$ tienen una presentación functorial particularmente agradable. Tenemos $$\hat{X}_Y \simeq Y_{dR} \times_{X_{dR}} X.$$ Aquí el subíndice $dR$ significa que estamos considerando la pila de Rham de un espacio $X$ es decir, la pila cuyo $S$ -los puntos son $\operatorname{Hom}(S^{red},X)$ .

En general, un esquema formal es un esquema ind $X$ que tiene una presentación $$ X = \operatorname{colim}_{i \in I} X_i, $$ donde cada $X_i$ es un esquema finito y los mapas de transición $X_i \to X_j$ son incrustaciones cerradas. Por definición, este colímite tiene lugar en alguna categoría de tramas (por ejemplo, fppf) sobre la categoría de esquemas afines, y por tanto tiene automáticamente una interpretación de functor de puntos.