Cuál es la forma correcta de resolver $\sin(2x)=\sin(x)$

Question

He encontrado dos maneras diferentes de resolver esta ecuación trigonométrica

$\begin{align*} \sin(2x)=\sin(x) \Leftrightarrow \\\\ 2\sin(x)\cos(x)=\sin(x)\Leftrightarrow \\\\ 2\sin(x)\cos(x)-\sin(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ \sin(x) \left[2\cos(x)-1 \right]=0 \Leftrightarrow \\\\ \sin(x)=0 \vee \cos(x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\\\\ x=k\pi \vee x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \vee x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi \space, \space k \in \mathbb{Z} \end{align*} $

La segunda forma era:

$\begin{align*} \sin(2x)=\sin(x)\Leftrightarrow \\\\ 2x=x+2k\pi \vee 2x=\pi-x+2k\pi\Leftrightarrow \\\\ x=2k\pi \vee3x=\pi +2k\pi\Leftrightarrow \\\\x=2k\pi \vee x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3} \space ,\space k\in \mathbb{Z} \end{align*} $

¿Cuál es la correcta? Gracias

Answer 1

Estas respuestas son equivalentes y ambas son correctas. Colocar el ángulo $x$ en un círculo de unidad, su descomposición primera da todos los ángulos en los lados de este, entonces todos los ángulos $60$ grados al norte de este, entonces todos los ángulos $60$ grados al sur del este y extremo oeste.

Su segunda descomposición tiene todos los ángulos en el lado Oriente primera. Entonces toma todos ángulos separación un tercio alrededor del círculo a partir de 60 grados al norte de este. Tiene la misma solución fijar de cualquier manera.

Answer 2

Por lo que de vale, la segunda es "mejor" porque generaliza más agradable. Imaginar la solución de $\sin(3 x) = \sin(x)$ usando el primer método ($\sin(3 x) = 3\cos^2(x)\sin(x) - \sin^3(x)$). Por otra parte, es fácil ver que $\sin(a x)= \sin(b x)$ tendrá un número infinito de soluciones para cualquier % real $a$y $b$ desde el segundo método.

Answer 3

Tienes todos los ingredientes.

La ecuación de $\sin(x) = 0$ produce soluciones $x = k\pi$ $k\in \mathbb{Z}$.

La ecuación de $\cos(x) = 0$ produce soluciones $x = \pi/3, 5\pi/3$ $[0,2\pi]$.

Puesto que la función coseno es $2\pi$-periódica, usted obtiene las soluciones

$$x = \pi(1/3 + 2k), \pi(5/3 + 2k), \qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Así que la solución es la totalidad de todos ellos.