¿Definición axiomática de pecado y cos?

Question

Busco la posibilidad de definir sin / porque a través de relaciones algebraicas sin involucrar series de potencia, integrales, ecuación diferencial e intuición geométrica.

¿Es posible definir sin y porque a través de algunos axiomas?

Como:

$$\sin 0 = 0, \cos 0 = 1$$ $$\sin \pi/2 = 1, \cos \pi/2 = 0$$ $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ $$\sin(x+2\pi n) = \sin x, \cos(x+2\pi n) = \cos x$$ $$\sin(-x)=-\sin x, \cos(-x) = \cos x \text{ for } x \in [-\pi;0]$$ $$\sin(x+y)=\sin x \cos y + \sin y \cos x$$

y capaz de demostrar ecuaciones escolares trigonométricas?

Qué adiciones se requieren para demostrar la continuidad y la unicidad de tales funciones y propiedades de análisis como:

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 0$$ o $$\sin ' x = \cos x$$ o $$\int \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}} = \arcsin x$$

PS En el libro de Walter Rudin "Principios del análisis matemático" sin y porque introducido a través de series de potencia.

En el libro de Solomon Feferman "Los sistemas numéricos: Foundations of Algebra and Analysis" veo el sistema derivado de la definición integral.

Answer 1

Para citar una respuesta mía anterior :

Robison, "A new approach to circular functions, , and lim sin(x)/x", Math. Mag. 41.2 (marzo de 1968), 66-70 [ jstor ].

En este trabajo se muestra que la ley de adición para el coseno (y un par de otras suposiciones simples) determina de forma única el coseno y el seno.

(Este es el documento que cito más a menudo en StackExchange).

Si no tienes acceso a jstor (y no quieres inscribirte en su oferta de 3 artículos gratuitos por vez), puedes probar esta otra respuesta mía a una cuestión estrechamente relacionada con la exponenciación, en la que adapté la prueba de Robison para dar la siguiente caracterización funcional del seno y el coseno:

Propuesta 1. Supongamos que $C,S\colon\mathbb R\to\mathbb R$ satisfacen estas condiciones:

1. $C$ y $S$ son continuos;
2. $C(u-v) = C(u)C(v)+S(u)S(v)$ para todos $u,v\in\mathbb R$ ;
3. $S(u-v) = S(u)C(v)-C(u)S(v)$ para todos $u,v\in\mathbb R$ ;
4. $C$ y $S$ no son ambos idénticamente cero.

Entonces existe $\lambda\in\mathbb R$ tal que

$$ C(u) = \cos(\lambda u) \quad\text{and}\quad S(u) = \sin(\lambda u) \text{ .} $$

Notarás que sólo tomé la continuidad como un axioma, lo cual era conveniente y natural en el contexto de esa otra pregunta; Robison demuestra la continuidad a partir de axiomas más débiles pero menos intuitivos - si la memoria no me falla, la clave es que el coseno tiene una raíz positiva más pequeña, es decir, existe $p>0$ tal que $C(p)=0$ y $C(x)\ne0$ para $0 < x < p$ - que podría servir mejor a sus propósitos.

(Ah, y ya que hay alguna pregunta sobre grados y radianes y todo eso: Robison toma la normalización $p=1$ , demuestra que $\lim_{x\to 0}\frac{S(x)}{x}$ existe, entonces define $\pi = 2\lim_{x\to 0} \frac{S(x)}{x}$ y luego define $\sin(x) = S(\frac{2x}{\pi})$ y de forma similar para $\cos$ . Esta maniobra equivale a definir $\pi$ por la condición $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ , muy parecida a la que a veces definimos $e$ por la condición $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} = 1$ .)

Answer 2

A partir de lo que no se quiere, quedan prácticamente las ecuaciones funcionales.

Parece que hay un sistema de dos ecuaciones funcionales para el seno y el coseno: ( enlace )

$$ \Theta(x+y)=\Theta(x)\Theta(y)-\Omega(x)\Omega(y) \\ \Omega(x+y)=\Theta(x)\Omega(y)+\Omega(x)\Theta(y) $$

Answer 3

Una definición que no implica series de potencias, integrales, ecuaciones diferenciales o intuición geométrica es: $$\cos x+\mathrm i\sin x=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{\mathrm ix}{n}\right)^{\!n}\quad(x\in\Bbb R).$$

Answer 4

Otras respuestas dan ecuaciones que definen el seno y el coseno sin especificar las unidades. Si quieres radianes, querrás: \begin{align} \sin x<x<\tan x&&&x\in\left(0,\frac\pi2\right) \end{align} Hay otras formas equivalentes de obtener radianes, como: \begin{align} \sin x&\le x^2+x&x&\in\mathbb R\\ \cos x&<\frac{\sin x}x<1&x&\in(-\pi,\pi)-\{0\} \end{align}

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En cuanto a conseguir $\pi$ Aquí hay uno que acabo de recordar: Digamos que tienes fórmulas que definen el seno y el coseno sin unidades. Pues bien, ni siquiera necesito las unidades adecuadas para definir $\pi$ ¡!

Llamar a nuestras funciones $\sin x^\circ$ y $\cos x^\circ$ (aunque no sean títulos - el $^\circ$ sólo significa aquí "alguna unidad"). Sea la raíz positiva más pequeña de $\cos x^\circ$ llamarse $r$ .

Bueno, $\frac\pi4$ es el único número tal que: \begin{align} \cos x^\circ&>\frac\pi4\left(1-\frac{x^2}{r^2}\right)&x&\in\mathbb R \end{align} Enlace a un útil gráfico que le ayudará a ver lo que está pasando. Prueba a cambiar $r$ verás que la desigualdad siempre se mantiene. Prueba a cambiar $p$ verás que esta desigualdad define de forma única $\pi$ .