Si el radio espectral de una matriz es inferior a 1, entonces la matriz tiene una norma inferior a 1.

Question

Sea $A$ sea una matriz cuadrada arbitraria y defina $ \rho(A)$ es el valor propio máximo de $A$ en valor absoluto. Si $ \rho(A)<1,$ entonces existe una norma de $A$ tal que $ \| A \|<1.$ ¿Cómo hacerlo? Gracias.

Answer 1

Utilizamos el resultado siguiente : $\rho(A)=\inf\{\lVert A\rVert,\lVert\cdot\rVert\mbox{ matrix norm}\}$ y aplicar la definición de $\inf$ a $\varepsilon:=\frac{1-\rho(A)}2$ .

Answer 2

Si $A$ es simétrica, entonces la norma euclídea de $A$ est $\rho(A)$ . Si no es simétrica, defina la matriz de bloques $$ B=\begin{array} 0 0 & A \\ A^t & 0 \end{array} \ . $$ Entonces la norma de $A$ es igual a la norma de $B$ y puede definir la norma de $A$ así.