Dado que el espacio total de una cubierta es localmente homeomorfo al espacio base, las propiedades topológicas locales (como la conectividad local (camino), T 1 etc.) se elevan desde el espacio base al espacio total. Lo mismo ocurre con la compacidad local, si suponemos que el espacio base es Hausdorff.
Mi pregunta es, dado un espacio no-Hausdorff localmente compacto $X$ cada portada de $X$ sea localmente compacta.
Mi intuición me dice que no, porque los barrios compactos de $X$ podría ser demasiado grande para ser "visto" por la estructura de cobertura. No se me ocurre ningún contraejemplo, sobre todo porque ahora mismo no recuerdo ningún espacio no compacto de Hausdorff y no tendré acceso a Steen & Seebach hasta dentro de un par de días. Aunque, al escribir esto, se me ocurre que podría haber condiciones sobre $X$ lo que garantizaría que la proyección de cobertura es un mapa adecuado, en cuyo caso habríamos terminado.
NB: Por espacio localmente compacto entiendo un espacio en el que cada punto tiene una vecindad compacta.
Edición: Pensando un poco más, si el espacio base es T 3 /regular (el más débil de los dos, cualquiera que sea su convención me podría) y localmente compacto cada cubierta es localmente compacto, básicamente por la misma razón que en el caso Hausdorff.
