Si $N_t$ es un proceso de Poisson y $Y\in\{-1,1\}$ entonces $X_t = Y(-1)^{N_t}$ es un proceso de Markov

Question

Sea $Y$ sea una variable aleatoria con valores en $\{-1,1\}$ independiente de un proceso de Poisson $\{N_t\}$ con intensidad $\lambda>0$ . Establezca el proceso $X = \{X_t\}$ por $X_t=Y(-1)^{N_t}$ . Demuestre que $X$ es un proceso de Markov.

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Mi prueba: $P(X_t=j|X_{t-1}=i_{t-1},...,X_0=i_0)=P(i_0(-1)^{N_t}=j)$ y: $P(X_t=j|X_{t-1}=i_{t-1})=P(X_t=j|X_{t-1}=i_{t-1},Y=i_0)=P(i_0(-1)^{N_t}=j)$ . $X$ es un proceso de Markov.

¿Es correcto?

Answer 1

Obsérvese en primer lugar que el espacio de estados de $X$ est $\{-1, 1\}$ .

Para fijos $t > 0$ y entero positivo $k$ y cualquier $0 \leq t_1 \leq t_2 \leq \cdots t_k \leq t$ , $(i_1, \ldots, i_k, i) \in \{-1, 1\}^{k + 1}$ , \begin{align*} & P(X_t = i \mid X_{t_k} = i_k, \ldots, X_{t_1} = i_1) \\ = & P(Y(-1)^{N_t} = i \mid Y(-1)^{N_{t_k}} = i_k, \ldots, Y(-1)^{N_{t_1}} = i_1) \\ = & P((-1)^{N_t} = iY \mid (-1)^{N_{t_k}} = i_k Y, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1 Y) \\ = & \frac{P[(-1)^{N_t} = iY, (-1)^{N_{t_k}} = i_k Y, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1 Y]}{P[(-1)^{N_{t_k}} = i_k Y, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1 Y]} \tag{1} \end{align*} Ahora trata el numerador y el denominador por separado, condicionando $Y$ , \begin{align*} & P[(-1)^{N_t} = iY, (-1)^{N_{t_k}} = i_k Y, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1Y] \\ = & P[(-1)^{N_t} = iY, (-1)^{N_{t_k}} = i_k Y, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1 Y \mid Y = 1]P(Y = 1) \\ + & P[(-1)^{N_t} = iY, (-1)^{N_{t_k}} = i_k Y, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1 Y \mid Y = -1]P(Y = -1) \tag{2} \end{align*} Por la independencia de $Y$ y $\{N_t\}$ y el hecho de que $\{N_t\}$ es independiente del incremento, se deduce que \begin{align*} & P[(-1)^{N_t} = iY, (-1)^{N_{t_k}} = i_k Y, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1 Y \mid Y = 1] \\ = & P[(-1)^{N_t} = i, (-1)^{N_{t_k}} = i_k, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1 \mid Y = 1] \\ = & P[(-1)^{N_t} = i, (-1)^{N_{t_k}} = i_k, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1] \\ = & P[(-1)^{N_t - N_{t_k}} = i/i_k, \ldots, (-1)^{N_{t_2} - N_{t_1}} = i_2/i_1, (-1)^{N_{t_1}} = i_1] \\ = & P[(-1)^{N_t - N_{t_k}} = i/i_k]\cdots P[(-1)^{N_{t_2} - N_{t_1}} = i_2/i_1]P[(-1)^{N_{t_1}} = i_1] \end{align*} Del mismo modo, \begin{align*} & P[(-1)^{N_t} = iY, (-1)^{N_{t_k}} = i_k Y, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1 Y \mid Y = -1] \\ = & P[(-1)^{N_t - N_{t_k}} = i/i_k]\cdots P[(-1)^{N_{t_2} - N_{t_1}} = i_2/i_1]P[(-1)^{N_{t_1}} = -i_1] \end{align*} Por lo tanto, $(2)$ puede reescribirse como \begin{align*} & P[(-1)^{N_t} = iY, (-1)^{N_{t_k}} = i_k Y, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1Y] \\ = & P[(-1)^{N_t - N_{t_k}} = i/i_k]\cdots P[(-1)^{N_{t_2} - N_{t_1}} = i_2/i_1] \times \\ & (P[(-1)^{N_{t_1}} = i_1]P(Y = 1) + P[(-1)^{N_{t_1}} = -i_1]P(Y = -1)) \end{align*} Con el mismo argumento anterior, el denominador de $(1)$ puede expresarse como: \begin{align*} & P[(-1)^{N_{t_k}} = i_kY, \ldots, (-1)^{N_{t_1}} = i_1Y] \\ = & P[(-1)^{N_{t_k} - N_{t_{k - 1}}} = i_k/i_{k - 1}]\cdots P[(-1)^{N_{t_2} - N_{t_1}} = i_2/i_1]\times \\ & (P[(-1)^{N_{t_1}} = i_1]P(Y = 1) + P[(-1)^{N_{t_1}} = -i_1]P(Y = -1)) \end{align*} De ello se deduce que \begin{align*} & P(X_t = i \mid X_{t_k} = i_k, \ldots, X_{t_1} = i_1) \\ = & P[(-1)^{N_t - N_{t_k}} = i/i_k] \\ = & P(X_t = i \mid X_{t_k} = i_k), \end{align*} demostrando que $\{X_t\}$ es markoviano.