Prueba de que una sucesión es convergente

Question

Me piden que demuestre la convergencia de la secuencia $$X_n=\left(1+\frac12\right)\left(1+\frac14\right)\left(1+\frac18\right)\cdots\left(1+\frac{1}{2^n}\right)$$

Demostré que es creciente mediante la prueba de razón y luego quiero demostrar que está acotada.

Mi pregunta es la siguiente : ¿basta con decir que $X_n<\left(\frac32\right)^n$ para $n>1$ ¿o no? En concreto, ¿podemos decir que una secuencia está acotada si $\forall$ $n$ , $\exists$ a $N$ tal que $X_n<N$ o tengo que encontrar un N tal que $\forall$ $n$ , $X_n<N$ ?

En otras palabras, ¿puede un límite depender de $n$ ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

$\ln(X_n) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \ln(1+\frac{1}{2^k})$ . Y $0 < \ln(1 + \dfrac{1}{2^k}) < \dfrac{1}{2^k}$ por lo que, mediante la prueba de comparación, la serie anterior converge y, por lo tanto, la secuencia $\ln(X_n)$ converge, lo que implica $X_n$ converge.

Answer 2

No basta con decir que $X_n<1.5^n$ . Tienes que demostrar que tu secuencia está acotada, es decir, que hay un número $C>0$ tal que $|X_n|<C$ para cualquier $n$ .

Por ejemplo, puede observar que $1+1/2^k\leqslant (1+1/2^n)^{2^{n-k}}$ y luego $X_n<e$ .

Answer 3

No, el límite no puede depender de $n$ . Si pudiera, entonces la serie $$ 1, 2, 3, 4, 5, \cdots (x_n = n $$ estaría acotada, eligiendo $N(n) = n+1$ .

Una forma de mostrar su producto $X$ está acotado es tomar el logaritmo de $X_n$ : $$ \log X_n = \sum_{k=0}^n \log(1+2^{-k}) $$ A continuación, utilice el hecho fácilmente comprobable de que para $0 < x < 1$ $$ \log(1+x) < x$$

Esto le permite mostrar que para todos $n$ , $$ \log(X_n) < \sum_{k=0}^n 2^{-k}) < 2 $$

Pero una forma mucho mejor es demostrar por inducción que $$ X_n = 2 -2^{-(2^n-1)}$$

Esta expresión cerrada para $X_n$ está claramente delimitada por $2$ .