¿El laplaciano es un vector o un escalar?

Question

Necesidad de demostrar $\operatorname{div}(\nabla u)=\nabla ^2 u$ donde $u=g(x,y,z)$

El lado derecho es el lapaciano, del que se nos ha dicho que es un vector. Pero $\nabla u=(g_x,g_y,g_z)$ y su divergencia es $g_{xx}+g_{yy}+g_{zz}$ que no es un vector. No entiendo cómo se puede equiparar entonces...

Answer 1

El "Laplaciano" es un operador que puede operar tanto sobre campos escalares como sobre campos vectoriales. El operador sobre un escalar se puede escribir,

$$\nabla^2 \{\} = \nabla \cdot (\nabla \{\})$$

que producirá otro campo escalar.

El operador sobre un vector puede expresarse como

$$\nabla^2 \{\} = \nabla (\nabla \cdot \{\})\,\,-\nabla \times (\nabla \times \{\})$$

que producirá otro campo vectorial.

En coordenadas cartesianas, ambos operadores pueden escribirse

$$\nabla^2 \{\} = \frac{\partial^2 \{\}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \{\}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \{\}}{\partial z^2}$$

donde es evidente que la operación sobre un campo escalar (vectorial) se transforma en un campo escalar (vectorial).

Answer 2

Lapaciano de un Enésimo El tensor de rango es otro Enésimo Tensor de rango. Es decir, el lapaciano de un Campo escalar es otro campo escalar . Laplaciano de Campo vectorial es otro campo vectorial etc.