Ayuda con la transformación lineal de una normal multivariante

Question

Dado X ~ $N_2$ ( , )$

Hallar la distribución de

$$ \begin{pmatrix} X+Y \\ X-Y \end{pmatrix} $$

Mostrar independencia si $Var(X) = Var(Y)$

Intento: Dado propio de Transformaciones Normales Multivariantes $N_m$ (A , $AA^t$ )

Utilizando $$ A = \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X+Y \\ X-Y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} = $$

La matriz general de varianza-covarianza de una normal bivariante,multiplicada por $AA^t$

$$ A = \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} _x^2&_{xy} \\ _{xy} &_y^2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&0 \\ 0 &0 \end{pmatrix} $$

Dado $_{xy} = _x^2 = _y^2$

Mis preguntas: i. ¿Los ceros de la matriz Varianza-Covarianza final muestran suficientemente la independencia?

ii. ¿Tiene $_y^2 = 0$ afectar al pdf, es decir, ¿hacerlo degenerar?

Donde el pdf bivariante es

$\frac{1}{2\pi_y_x(1-\rho^2)} e^{\frac{q}{2(1-\rho^2)}}$

$q = [(\frac{x-_x}{_x})^2 -2\rho(\frac{y-_y}{_x})(\frac{y-_y}{_y}) + (\frac{y-_y}{_y})^2]$

Por $AA^t$ $\rho = 0$ y $_y^2 = 0 $

$q = [(\frac{x-_x}{_x})^2 + (\frac{y-_y}{0})^2]$ lo cual es problemático.

No sé en qué me estoy equivocando...

Answer 1

1. Sí, para un vector aleatorio gaussiano $(X,Y)$ se sabe que $X$ y $Y$ son independientes si y sólo si la covarianza $\text{cov}(X,Y)$ es igual a $0$ . Dado que las entradas de la diagonal son exactamente la covarianza, esto significa que $X$ y $Y$ son realmente independientes.
2. Bueno, si $\delta_y^2=0$ (que equivale a $\text{var}(Y)=0$ ), entonces $Y$ es gaussiano degenerado, es decir $Y=\mathbb{E}Y$ casi seguro.