Calcular

Question

¿Alguien puede ayudar para calcular este límite, por favor? $\{nx\}$ denota la parte fraccional de $nx$. Trató de sustituir a $nx$ por otra variable y escriba un entero integral como una suma de integrales: $$\sum\limits_{i=0}^{n-1}\int\limits_{i}^{i+1} $ $ pero parece no funcionar hacia fuera.

Answer 1

Tenemos que $e^{\{nx\}}$ $\frac{1}{n}$- función periódica y su valor medio durante un período está dado por $(e-1)$.

Por la de Riemann-Lebesgue lema (creo que a la serie de Fourier de $e^{\{x\}}$) se sigue que:

$$ \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{1}e^{\{nx\}}x^{100}\,dx = (e-1)\int_{0}^{1}x^{100}\,dx = \color{red}{\frac{e-1}{101}}.$$

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Que realmente no necesitamos, pero el explícito serie de Fourier de $e^{\{x\}}$ está dada por: $$ e^{\{x\}}=(e-1)+2(e-1)\sum_{m\geq 1}\frac{\cos(2\pi m x)-2m\pi \sin(2\pi m x)}{1+4m^2 \pi^2}$$ y el $m$-ésimo término de la serie es limitada por $\frac{1}{\sqrt{1+4m^2\pi^2}}$ debido a la de Cauchy-Schwarz desigualdad.
Además, para cualquier $h\in\mathbb{N}^+$ hemos $$ \left|\int_{0}^{1}x^h \sin(2\pi n x)\,dx\right|\sim \left|\int_{0}^{1}x^h \cos(2\pi n x)\,dx\right|\sim\frac{1}{\pi n} $$ para un gran $n\in\mathbb{N}$.

Answer 2

Un enfoque alternativo. Tenemos $$I=\int_{0}^{1}e^{\left\{ xn\right\} }x^{100}dx=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k/n}^{(k+1)/n}e^{\left\{ xn\right\} }x^{100}dx $$ $$\stackrel{y=nx}{=}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k}^{(k+1)}e^{\left\{ y\right\} }\left(\frac{y}{n}\right){}^{100}dy $$ then by the mean value theorem exists some $z_{k}\in\left[k,k+1\right] $ such that $$I=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{z_{k}}{n}\right)^{100}\int_{k}^{(k+1)}e^{\left\{ y\right\} }dy $$ and since $e^{\left\{ x\right\} } $ has period $1$ $$ I=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{z_{k}}{n}\right)^{100}\int_{0}^{1}e^{y}dy=\left(e-1\right)\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{z_{k}}{n}\right)^{100} $$ now if we take the limit we have a Riemann sum, so $$\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}e^{\left\{ xn\right\} }x^{100}dx= & \left(e-1\right)\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{z_{k}}{n}\right)^{100} \\ = & \left(e-1\right)\int_{0}^{1}x^{100}dx=\color{red}{\frac{e-1}{101}}. \end{align}$$ Addendum: me di cuenta de que este método funciona para cualquier función periódica con período de $1$. Por lo que es fácilmente generalizable.

Answer 3

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,\mathrm{Li}_{#1}} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\color{#f00}{\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}\expo{\braces{nx}}x^{100}\,\dd x} = \lim_{n \to \infty}{1 \over n^{101}}\int_{0}^{n}\expo{\braces{x}}x^{100}\,\dd x \end{align}

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Con Stolz-Ces$\mathrm{\grave{a}}$ro Teorema: \begin{align} &\color{#f00}{\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}\expo{\braces{nx}}x^{100}\,\dd x} \\[3mm] = &\ \lim_{n \to \infty}{1 \over \pars{n + 1}^{101} - n^{101}}\pars{% \int_{0}^{n + 1}\expo{\braces{x}}x^{100}\,\dd x - \int_{0}^{n}\expo{\braces{x}}x^{100}\,\dd x} \\[3mm] = &\ {1 \over 101}\lim_{n \to \infty}{1 \over n^{100}} \int_{n}^{n + 1}\expo{x - n}x^{100}\,\dd x \end{align}

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La integración por partes: \begin{align} &\color{#f00}{\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}\expo{\braces{nx}}x^{100}\,\dd x} \\[3mm] = &\ {1 \over 101}\lim_{n \to \infty}\braces{% \bracks{\expo{}\pars{1 + {1 \over n}}^{100} - 1} - {100 \over n^{100}}\int_{n}^{n + 1}\expo{x - n}x^{99}\,\dd x}\tag{1} \end{align}

$$ \begin{array}{|c|}\hline\mbox{}\\ \quad\mbox{Note that}\ds{\quad% 0 < \verts{{1 \over n^{100}}\int_{n}^{n + 1}\expo{x -n}x^{99}\,\dd x} < {\expo{}\pars{n + 1}^{99} \over n^{100}} \stackrel{n\ \to\ \infty}{\longrightarrow} 0\quad} \\[4mm] \mbox{such that ( see (1) )}\ds{\quad \lim_{n \to \infty}\ds{\pars{% {100 \over n^{100}}\int_{n}^{n + 1}\expo{x - n}x^{99}\,\dd x} = \color{#f00}{0}}} \\ \mbox{}\\ \hline \end{array} $$

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$$ \mbox {( ver (1) ),}\quad \color{#f00}{\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}\expo{\llaves{nx}}x^{100}\,\dd x} = \color{#f00}{\expo{} - 1 \de más de 101} $$