Hace poco leí la demostración de por qué toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy y la mecánica de la demostración me parece totalmente lógica. Sin embargo, la prueba es bastante diferente de lo que mi cerebro intuitivo imaginaba. Me explico. Para una secuencia convergente sabemos que la secuencia $\{ x_n \}_n$ converge a un punto específico, digamos $x$ . Lo que esto significa para mí intuitivamente es la siguiente imagen:
En otras palabras, puesto que la distancia desde $x_n$ à $x_m$ à $x$ está acotada, entonces es "obvio" que la distancia entre cualquier $x_m$ , $x_n$ también debe estar acotada. Pero no sólo eso, parece que la distancia entre cualquier $x_n$ y $x_m$ debe estar limitada por algún $\epsilon'$ menos que el original $ \epsilon$ en la definición convergente. Sin embargo, la prueba parece implicar que es el doble de grande que el original. $\epsilon$ . Por qué la relación entre las épsilon es al revés de lo que espero si la distancia entre $x_n$ à $x_m$ se incluye en la distancia entre $x_n$ y $x$ . Esencialmente ya que en la imagen $ \| x_n - x_m \| \leq \| x_n - x \| $ entonces es inesperado que la constante que limita la sucesión de Cauchy sea el doble de grande.
¿La constante es floja o tengo una idea equivocada de cómo debería haber resultado la prueba?
¿Tal vez intente explicar la prueba con mis propias palabras y revelar mi malentendido?
Consideremos una secuencia $ \{ x_n\}_n$ que converge a $x$ . Esto significa que $\forall \epsilon_{convergent} > 0$ , $\exists N \in \mathbb{N}$ s.t. $ \| x_n - x\| < \epsilon_{convergent} $ . Fijar un $\epsilon_{convergent}$ . Esto corresponde a unos $N$ . Que sea $N_{convergent}$ . Entonces dos puntos cualesquiera de la secuencia después de $N_{convergent}$ tienen la propiedad $ \| x_n - x\| < \epsilon_{convergent}$ , $ \| x_m - x\| < \epsilon_{convergent}$ . Por lo tanto, considere la cantidad de interés y aplique la definición de norma (utilizando la desigualdad triangular):
$$ \| x_n - x_m \| = \| x_n - x + x - x_m \| \leq \| x_n - x\| + \| x_m - x \|$$
pero como sabemos que ambos están limitados por $\epsilon_{convergent}$ obtenemos que por ese mismo $N_{convergent}$ la diferencia anterior está limitada por $\epsilon_{cauchy} = 2 \epsilon_{convergent}$ . Que utilizamos todas las reglas y axiomas correctamente por lo que mecánicamente se ve bien pero la constante $\epsilon_{cauchy}$ parece ser mayor de lo que esperaba (cuando pensaba que, obviamente, debería haber sido menor), lo que podría significar que mi intuición es errónea. Sólo espero corregirlo o tal vez no entiendo la prueba tan bien como pensaba.
