$(K(x) : F(U))$ es una extensión de Galois, entonces $U$ es finito.

Question

Sea $K(x)$ sea el campo de funciones racionales sobre un campo $K$ .

Demuestre que para un subgrupo $U \leq Aut(K(X)/K)$ las siguientes condiciones son equivalentes:

$(1)$ $(K(x) : F(U))$ es una extensión de Galois;

$(2)$ $U$ es finito;

$(3)$ existe una función racional no constante con $U= \{\sigma \in G \mid \sigma * \phi = \phi\}$ .

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Una ampliación de campo $(L : K)$ se denomina extensión de Galois si $F(Aut(L/K)) = K$ es decir, si para cualquier $a \in L- K$ existe un automorfismo de $L$ que deja $K$ punto fijo, pero en realidad se mueve $a$ .

$Aut(K(X)/K) = \{\phi \mid \phi : K(X) \to K(X) , \phi(k) = k \ \ \forall k \in K\}$ donde $\phi$ es un automorfismo.

Answer 1

Si $\mathbb{F}$ es cualquier campo y $G$ es un grupo finito de automorfismos de $\mathbb{F}$ entonces $\mathbb{F}/\mathbb{F}^G$ es Galois con grupo $G$ - esto es sólo el teorema de Artin que más o menos implica que $(2)\Rightarrow (1)$ .

Suponiendo (3), se obtiene que $U$ contiene todos los automorfismos que mantienen $K(\phi(x))$ invariante donde $\phi(x)$ no es constante. Dado que $[K(x):K(\phi(x))]$ es finito (de grado $\deg(\phi)$ ), entonces $U$ debe ser finito, que es exactamente (2).

Por último, supongamos (1), de modo que $[K(x):K(x)^U]$ es Galois. Dado que $K\leq K(x)^U \leq K(x)$ se puede utilizar el teorema de Luroth, según el cual $K(x)^U=K(f(x))$ para alguna función racional $f$ . Esta función no va a ser constante, ya que $K(x)/K$ no es Galois (no es una extensión algebraica). Se obtiene entonces que $f(x)$ es una función racional no constante invariante bajo $U$ . Además, puesto que $U$ es el grupo de Galois de $K(x)/K(x)^U=K(x)/K(f(x))$ (de nuevo utilizando el teorema de Artin), cualquier otro automorfismo que mantenga $f(x)$ invariante mantendrá $K(f(x))$ invariante, y por lo tanto estará en $U$ por lo que obtenemos que $(1)\Rightarrow (3)$ .

Por cierto, tu definición de Galois no es cierta para extensiones infinitas. Por ejemplo, $K(x)/K$ no es Galois porque no es una extensión algebraica, pero para cada $f(x)\in K(x)-K$ hay un $K$ -automorfismo que desplaza $f(x)$ . Más concretamente, se tienen los automorfismos definidos por $x\mapsto ax+b$ para cualquier $a,b \in K$ donde $a\neq 0$ . Escribir $f(x)=f_1(x)/f_2(x)$ con $(f_1,f_2)=1$ si es invariante bajo tal automorfismo, entonces se obtiene que $f_1(ax+b)f_2(x)=f_1(x)f_2(ax+b)$ como polinomios. Si $f(x)$ es invariante bajo todos los automorfismos anteriores, entonces comparando los coeficientes principales mostramos que debemos tener $\deg(f_1)=\deg(f_2)$ . Supongamos que $f$ no es constante, por lo que tanto $f_1,f_2$ no son constantes y como son coprimos podemos encontrar una raíz $\alpha$ para $f_1$ que no es una raíz para $f_2$ , pero entonces obtenemos que $f_1(a\alpha+b)f_2(\alpha)=0$ para todos $a,b$ lo que implica que $f_1=0$ - contradicción. De ello se deduce que $K=(K(x))^{Aut(K(x)/K)}$ .