Identificación de $SL(2,\mathbb{C})/H$ con $\mathbb{C}^2\setminus \{ 0\}$

Question

Sea $G=SL(2,\mathbb{C})$ y que $H$ sea el conjunto de matrices unipotentes $$ \left\{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & b \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] : b\in \mathbb{C}\right\}. $$

I $G/H$ puede identificarse con $\mathbb{C}^2\setminus \{ 0\}$ mediante la acción transitiva de $G$ en $\mathbb{C}^2\setminus \{ 0\}$ .

Se supone entonces que esta acción se extiende a una acción lineal sobre su terminación proyectiva $\mathbb{P}^2=\overline{G/H}$ donde tomamos el punto $[1:1:0]$ para representar el coset de identidad $H$ .

Cualquier ayuda/sugerencia es muy apreciada. Muchas gracias.

Añadido Nota $\dim SL(2,\mathbb{C})/H$ es claramente 2, pero no estoy seguro de cómo $G/H$ y $\mathbb{C}^2\setminus \{ 0\}$ (es decir, construir un mapa explícito entre ambos).

Siguiendo con la pregunta anterior, para $SL(3,\mathbb{C})/H$ w $$ H =\left\{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 &1 \\ \end{array} \right] : a,b,c\in\mathbb{C} \right\}, $$ podemos concluir que $SL(3,\mathbb{C})/H$ también actúa transitivamente sobre algún subconjunto $S$ de $\mathbb{C}^5$ e identificar $SL(3,\mathbb{C})/H$ con $S$ ? ¿Sería entonces el cierre proyectivo $\overline{SL(3,\mathbb{C})/H}$ igual $\mathbb{P}^5$ ?

Answer 1

Definir un mapa $SL_2(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^2 - 0$ enviando $[\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}] \to [\begin{smallmatrix} a \\ c \end{smallmatrix}]$ .

Puede comprobar que $g$ y $g.h$ corresponden al mismo elemento para todos los $g \in SL_2(\mathbb{C})$ y $h \in H$ .

Answer 2

Sea $G$ sea un grupo de Lie y sea $X$ sea una variedad lisa. Un acción de $G$ en $X$ es un mapa suave $\left(\cdot,\cdot\right):G\times X\to X$ tal que $(g,(h,x))=(gh,x)$ para todos $g,h\in G$ y $x\in X$ y $(1_{G},x)=x$ para todos $x\in X$ donde $1_{G}\in G$ es la identidad multiplicativa.

Ejercicio 1 : Demostrar que la "acción natural" del grupo de Lie $\text{SL}(2,\mathbb{R})$ en el colector liso $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ es efectivamente una acción según la definición anterior (es decir, es suave).

Ejercicio 2 : Sea $G$ sea un grupo de Lie y sea $X$ sea una variedad lisa. Sea una acción transitiva de $G$ en $X$ . Si $x\in X$ y si $H\subseteq G$ es el estabilizador de $x\in X$ es decir, $H=\{g\in G:gx=x\}$ demuestre que $H$ es un subgrupo de $G$ . Nos referimos al cociente $G/H$ como espacio homogéneo .

(a) Demostrar que el mapa natural $G/H\to X$ dado por $gH\to (g,x)$ (recordemos que $\left(\cdot,\cdot\right):G\times X\to X$ denota la acción) es una biyección.

(b) Demostrar que existe una estructura única de una variedad lisa en $G/H$ tal que la biyección de (a) es un difeomorfismo.

Ejercicio 3 : Demostrar que el estabilizador de $1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ con respecto a la acción de Ejercicio 1 es el subgrupo de $G$ formado por todas las matrices unipotentes.

Concluimos que el cociente $\text{SL}(2,\mathbb{R})/H$ es un espacio homogéneo y este espacio homogéneo puede identificarse con $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ por Ejercicio 2(a) y Ejercicio 3 mediante la acción de Ejercicio 1 . También sabemos según Ejercicio 2(b) que existe una única estructura suave en $\text{SL}(2,\mathbb{R})/H$ tal que esta identificación define un difeomorfismo $\text{SL}(2,\mathbb{R})/H\cong \mathbb{C}\setminus \{0\}$ .

Espero que te sirva de ayuda.