Número de 4 dígitos posibles

Question

Me gustaría que me ayudarais a resolver este tipo de preguntas.

Pregunta:Halla el número de todos los números de cuatro cifras que sean mayores que 2367 y en los que las cifras estén dispuestas en orden ascendente.

Answer 1

Divide el conjunto en dos tipos: los números superiores a 3000 y los inferiores a 3000.

El primer tipo es fácil: no puede hacer uso de los dígitos 0,1 y 2. Así que elegimos 4 dígitos entre 3 y 9 (y los ordenamos de forma creciente). Es lo mismo que el coeficiente binomial, ${7\choose 4}= 7!/(4!)(3!)=35$ .

Para contabilizar el segundo tipo, divídalo a su vez en los que tienen menos de 2400 y los que tienen entre 2400 y 3000. Los menores de 2400 se consideran simplemente $2368; 2369, 2378, 2379 $ y $2389$ dando 5 números.

Así que nos quedan los números que empiezan por 2 y evitan el 3.

$24xx \to {5\choose2}=10$

$25xx\to {4\choose2}= 6$

$26xx\to {3\choose 2}=3$

$27xx\to {2\choose2}=1$ .

Sumando tenemos totalmente $35+5+10+6+3+1$ es decir 60 números.

Answer 2

La respuesta a tu pregunta depende de lo que entiendas por orden ascendente.

Los dígitos deben ser distintos:

Un número de cuatro cifras compuesto por cifras distintas escritas en orden ascendente puede formarse seleccionando cuatro números de la secuencia $123456789$ . Por ejemplo, el número $2367$ corresponde a la elección $1\color{blue}{23}45\color{blue}{67}89$ .

Consideramos los casos:

1. El número es como mínimo $3000$ . Podemos elegir un número de cuatro cifras con dígitos distintos que aparezcan en orden ascendente seleccionando cuatro dígitos de la secuencia $3456789$ . Por ejemplo, la elección $3\color{blue}{4}5\color{blue}{67}8\color{blue}{9}$ produce el número $4679$ . El número de formas en que podemos hacer esa elección es $\binom{7}{4}$ ya que estamos eligiendo cuatro de los siete números de la secuencia.

2. El número es como mínimo $2400$ pero menos de $3000$ . Para formar un número de cuatro cifras con dígitos distintos que aparecen en orden ascendente, debemos seleccionar tres de los seis dígitos azules de la secuencia $2\color{blue}{456789}$ . Por ejemplo, la elección $2\color{blue}{4}\color{red}{5}\color{blue}{6}\color{red}{78}\color{blue}{9}$ produce el número $2578$ . El número de maneras de hacer tal elección es $\binom{6}{3}$ maneras.

3. El número es como mínimo $2370$ pero menos de $3000$ . Para formar un número de cuatro cifras con dígitos distintos que aparecen en orden ascendente, debemos seleccionar dos de los tres dígitos azules de la secuencia $23\color{blue}{789}$ que puede ser $\binom{3}{2}$ maneras.

4. El número es mayor que $2367$ pero menos de $2370$ . Para formar un número de cuatro cifras con dígitos distintos que aparecen en orden ascendente, debemos seleccionar uno de los dos dígitos azules de la secuencia $236\color{blue}{89}$ que puede realizarse en $\binom{2}{1}$ formas, correspondientes a los números $2368$ y $2369$ .

Por lo tanto, el número de formas en que podemos formar un número de cuatro cifras mayor que $2367$ formado por dígitos distintos que aparecen en orden ascendente es $$\binom{7}{4} + \binom{6}{3} + \binom{3}{2} + \binom{2}{1} = 35 + 20 + 3 + 2 = 60$$

No es necesario que los dígitos sean distintos:

Un número de cuatro cifras cuyas cifras aparecen en orden no decreciente puede representarse colocando cuatro divisores en una secuencia de nueve unos, de forma que el número de unos a la izquierda del $k$ ª divisor representa el $k$ cuando se lee de izquierda a derecha. Por ejemplo, el número $2367$ está representado por $$1 1 \vert 1 \vert 1 1 1 \vert 1 \vert 1 1 1$$

Consideramos los casos:

1. El número es como mínimo $3000$ . Para seleccionar un número que sea al menos $3000$ cuyos dígitos aparecen en orden no decreciente, debemos colocar cuatro divisores en nuestra lista de nueve unos entre los seis unos que aparecen después de los tres primeros unos. Por ejemplo, el número $3499$ está representado por $$1 1 1 \vert \color{blue}{1 \vert 1 1 1 1 1 \vert \vert}$$
   El número de elecciones que podemos hacer es $\binom{6 + 4}{4} = \binom{10}{4}$ ya que debemos elegir qué cuatro plazas de entre las seis unas y cuatro divisorias que aparecen después de las tres primeras serán ocupadas por divisorias.

2. El número es como mínimo $2400$ pero menos de $3000$ . Para seleccionar un número que sea al menos $2400$ pero menos de $3000$ cuyos dígitos aparecen en orden no decreciente, debemos colocar un divisor en nuestra lista de nueve unos después de los dos primeros unos, y luego colocar tres divisores más entre los cinco unos que aparecen después del cuarto uno. Por ejemplo, la elección $$1 1 \vert 1 1 \color{blue}{1 \vert 1 1 \vert \vert 1 1}$$ corresponde al número $2577$ . El número de estas opciones es $\binom{5 + 3}{3} = \binom{8}{3}$ .

3. El número es como mínimo $2370$ pero menos de $2400$ . Para seleccionar un número que sea al menos $2370$ pero menos de $2400$ cuyos dígitos aparecen en orden no decreciente, debemos colocar el primer divisor de nuestra lista de nueve unos después de los dos primeros unos, el segundo divisor después del tercero y, a continuación, colocar dos divisores más entre los dos dígitos que aparecen después del séptimo. Esto puede hacerse en $\binom{2 + 2}{2} = \binom{4}{2}$ maneras.

4. El número es mayor que $2367$ pero menos de $2370$ . Para seleccionar un número mayor que $2367$ pero menos de $2370$ cuyos dígitos aparecen en orden no decreciente, debemos colocar nuestro primer divisor en nuestra lista de nueve unos después de los dos primeros unos, el segundo divisor después del tercero, el tercer divisor después del sexto, y luego colocar el cuarto divisor antes o después del noveno (correspondiente a las opciones $2368$ y $2369$ respectivamente), lo que puede hacerse en $\binom{1 + 1}{1} = \binom{2}{1}$ maneras.

Por lo tanto, el número de números de cuatro cifras mayores que $2367$ en la que los números aparecen en orden no decreciente es $$\binom{10}{4} + \binom{8}{3} + \binom{4}{2} + \binom{2}{1} = 210 + 56 + 6 + 2 = 274$$