Encontrar qué conjuntos son subespacios de R3

Question

Hola. He adjuntado una imagen de la pregunta con la que estoy teniendo problemas. Pensaba que eran 1,2 y 6 los subespacios de $\mathbb R^3$ .

Aquí está mi trabajo:

1. Ecuación reordenada ---> $x+y-z=0$ . Es un subespacio ya que es el conjunto de soluciones de una ecuación lineal homogénea.

2. $0$ está en el conjunto si $x=y=0$ . Es un subespacio. (Sé que para ser un subespacio, debe ser cerrado bajo multiplicación escalar y suma vectorial, pero no había ninguna ecuación que relacionara las variables, así que me lancé a pensar que sería un subespacio...).

3. Ecuación reordenada ---> $xy - xz=0$ . $0$ está en el conjunto si $x=0$ y $y=z$ . Dije que $(1,2,3)$ elemento de $R^3$ desde $x,y,z$ son todos números reales, pero al poner esto en la ecuación reordenada, había una contradicción. Por lo tanto, no es un subespacio.

4. \= espacio $\{\,(1,0,0),(0,0,1)\,\}$ . el conjunto no es un subespacio (no hay vector cero)

5. Similar al anterior.

6. $0$ está en el conjunto si $m=0$ . De nuevo, no estaba seguro de cómo comprobar si es cerrado bajo suma y multiplicación de vectores. Al ver que $0$ está en el conjunto, afirmé que era un subespacio.

Agradezco cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Guía:

Por parte $4$ Obsérvese que

$U_4=\operatorname{Span}\{ (1,0,0), (0,0,1)\}$ se escribe en forma de tramo de elementos de $\mathbb{R}^3$ que es cerrado bajo adición y multiplicación escalar. Por tanto, es un subespacio. Dejaré la parte $5$ como ejercicio.

Alternativamente, déjame probar $U_4$ es un subespacio verificando que es cerrado bajo adición y multiplicación escalar explícitamente.

Cerrado por adición: Sea $x \in U_4$ , $\exists s_x, t_x$ tal que $x=s_x(1,0,0)+t_x(0,0,1)$ . Sea $y \in U_4$ , $\exists s_y, t_y$ tal que $y=s_y(1,0,0)+t_y(0,0,1)$ entonces $x+y = (s_x+s_y)(1,0,0)+(s_y+t_y)(0,0,1)$ pero tenemos $s_x+s_y, t_x+t_y \in \mathbb{R}$ Por lo tanto $x+y \in U_4$ .

Cerrado bajo multiplicación escalar, sea $c \in \mathbb{R}$ , $cx = (cs_x)(1,0,0)+(ct_x)(0,0,1)$ pero tenemos $cs_x, ct_x \in \mathbb{R}$ Por lo tanto $cx \in U_4$ .

No basta con comprobar si el vector cero está dentro.

Trate de exponer contraejemplos por parte $2,3,6$ para demostrar que no son cerradas ni por adición ni por multiplicación escalar. Por ejemplo, para la parte $2$ , $(1,1,1) \in U_2$ ¿qué pasa con $\frac12 (1,1,1)$ ¿Está en $U_2$ ?

Answer 2

He aquí las definiciones que creo que le faltan:

Cierre bajo adición de vectores:

Un subconjunto $S$ de $\mathbb{R}^3$ es cerrado por adición de vectores si la suma de dos vectores cualesquiera en $S$ también está en $S$ . En otras palabras, si $(x_1,y_1,z_1)$ y $(x_2,y_2,z_2)$ están en el subespacio, entonces también lo está $(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$ . Por ejemplo, si tuviéramos que contrastar esta definición con el problema 2, estaríamos preguntando si es cierto que, para cualquier $x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R}$ el vector $(x_1,y_2,x_1y_1)+(x_2,y_2,x_2y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,x_1x_2+y_1y_2)$ está en el subconjunto.

Cierre bajo multiplicación escalar:

Un subconjunto $S$ de $\mathbb{R}^3$ es cerrado bajo multiplicación escalar si cualquier múltiplo real de cualquier vector en $S$ también está en $S$ . En otras palabras, si $r$ es cualquier número real y $(x_1,y_1,z_1)$ está en el subespacio, entonces también lo está $(rx_1,ry_1,rz_1)$ . Por ejemplo, si tuviéramos que contrastar esta definición con el problema 2, estaríamos preguntando si es cierto que, para cualquier $r,x_1,y_1\in\mathbb{R}$ el vector $(rx_1,ry_2,rx_1y_1)$ está en el subconjunto.

El conjunto $\{s(1,0,0)+t(0,0,1)|s,t\in\mathbb{R}\}$ del problema 4 es el conjunto de vectores que pueden expresarse de la forma $s(1,0,0)+t(0,0,1)$ para un par de números reales $s,t\in\mathbb{R}$ . Una definición similar es válida para el problema 5.

(Tampoco sigo en absoluto tu razonamiento para la 3.)