Sea $D$ sea un operador elíptico sobre $\mathbb{R}^n$ con coeficientes analíticos reales. ¿Deben ser sus soluciones también analíticas reales? Si no es así, ¿hay alguna hipótesis complementaria útil? Los métodos estándar de Sobolev parecen inútiles en este caso, y no encuentro ninguna mención a esta cuestión en mis libros de EDP.
Empecé a pensar en esto porque oí a alguien utilizar la regularidad elíptica para explicar por qué las funciones holomorfas son suaves. Aparte de que esa explicación me parece de mal gusto matemático (considero que las bellas propiedades de regularidad de las funciones holomorfas son fenómenos fundamentalmente topológicos), se me ocurrió que la teoría elíptica estándar se queda corta al mostrar una función holomorfa como el límite de su serie de Taylor. Así que me pregunto si se trata de una limitación real de la regularidad elíptica que podría reivindicar y afianzar mi sesgo topológico.
En el desafortunado caso de una respuesta afirmativa a mi pregunta, estaría muy interesado en las aplicaciones geométricas (si las hubiera).
