Generalización del Teorema de Abel a ecuaciones diferenciales de orden superior

Question

Deje $$y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)$$ entonces Por el teorema de Abel wronskiano es igual a :

$$W= c e^{\int p(t)dt}$$

Ahora queremos generalizar esto a una ecuación diferencial de 3er orden donde :

$$y'''+p_1(t)y''+p_2(t)y'+p_3(t)y=0$$

Y El libro sigue el procedimiento a continuación, no tenía ni idea de lo que se quiere decir estaría agradecido si alguien se las arregla para explicar :

Primero escriba $W'$ . A continuación, sustituya $y_1''',y_2''' \ and \ y_3'''$ de la ecuación diferencial; multiplicar la primera fila por $p_3$ multiplica la segunda fila por $p_2$ y añadirlos a la última fila para obtener : $$W'= -p_1(t)W$$

Después de este punto creo que puedo mostrar el resto. Sin embargo no he entendido ninguna palabra de la frase anterior. ¿Podría alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

El Wronskian de las funciones $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ se define como $$ W=\begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots &f_n(x)\\ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots &f_n'(x)\\ f_1''(x) & f_2''(x) & \cdots &f_n''(x)\\ \vdots\\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots &f_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix} $$ Supongamos ahora que tenemos una ecuación diferencial $$ y^{(n)}=p_1(x) y^{(n-1)}+\cdots + p_{n-1}(x)y+p_n(x)=\sum_{m=0}^{n-1}p_{n-m}(x)y^{(m)} $$ con la convención de que $y^{(0)}=1$ . El teorema de Abel consiste en calcular el Wronskiano de la $n$ soluciones de la EDO anterior, digamos $y_1,\cdots, y_n$ . Así que hagámoslo... Primero observa que (pruébalo) $$W'=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \cdots &y_n\\ y_1' & y_2' & \cdots &y_n'\\ y_1'' & y_2'' & \cdots &y_n''\\ \vdots\\ y_1^{(n-2)} & y_2^{(n-2)} & \cdots &y_n^{(n-2)}\\ y_1^{(n)} & y_2^{(n)} & \cdots &y_n^{(n)} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \cdots &y_n\\ y_1' & y_2' & \cdots &y_n'\\ y_1'' & y_2'' & \cdots &y_n''\\ \vdots\\ y_1^{(n-2)} & y_2^{(n-2)} & \cdots &y_n^{(n-2)}\\ \sum_{m=0}^{n-1}p_{n-m}y_1^{(m)} & \sum_{m=0}^{n-1}p_{n-m}y_2^{(m)} & \cdots &\sum_{m=0}^{n-1}p_{n-m}y_n^{(m)} \end{vmatrix}$$ donde la segunda igualdad proviene de la ecuación diferencial. Ahora usando las propiedades del determinante (específicamente su multilinealidad) $$ W'=\sum_{m=0}^{n-1}p_{n-m} \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \cdots &y_n\\ y_1' & y_2' & \cdots &y_n'\\ y_1'' & y_2'' & \cdots &y_n''\\ \vdots\\ y_1^{(n-2)} & y_2^{(n-2)} & \cdots &y_n^{(n-2)} \\ y_1^{(m)} & y_2^{(m)} & \cdots &y_n^{(m)} \end{vmatrix}= p_{1}W $$ Le dejo a usted la tarea de averiguar cómo surgió cada igualdad de la identidad anterior. Ahora hemos encontrado que $W'=p_1(x)W$ que tiene fácil solución $W=c\int p_1(t)dt$ . QED.

Si esta demostración te parece abstracta, o si no estás familiarizado con las propiedades de los determinantes, intenta demostrar cada paso de la demostración anterior con las propiedades de $3\times 3$ determinantes que usted conoce.