Implicaciones de la forma de la ecuación de Binnet

Question

Ecuación del pardillo , $$\frac{d^2}{d\theta^2}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac 1r=-\frac{m}{L^2}F(r)r^2,$$ donde $m$ y $L^2$ son constantes positivas, puede utilizarse para obtener la órbita $r(\theta)$ de una partícula en un campo de fuerza central. La condición $L^2\neq 0$ implica que la órbita es una función estrictamente creciente.

Sea $r_1$ sea un valor máximo o mínimo de $r(\theta)$ tal que $r(\theta_1)=r_1$ . Este punto, $(r_1,\theta_1)$ se denomina apsis . Entonces leí la siguiente frase de un libro:

De la forma de la ecuación de Binnet se deduce que la órbita es simétrica en $\theta$ sobre el segmento $OA_1$ ir del origen a la apsis $A_1$ .

Entiendo el significado de esta frase, pero no entiendo por qué es cierta. ¿Qué hay específicamente en la ecuación de Binnet que conduce a esta simetría sobre $OA_1$ ? Veo que la ecuación de Binnet es invariante bajo $\theta\rightarrow -\theta$ y $\theta\rightarrow \theta+\theta_0$ . Sigo sin ver cómo podrían explicar la frase anterior. Agradecería mucho una respuesta no matemática.

Answer 1

Creo que tengo la respuesta.

La ecuación de Binet es invariante bajo $\theta\rightarrow -\theta$ . Pero sólo definiendo $\theta=0$ en un punto de inflexión $A_1=(r_1,\theta_1=0)$ la solución puede reflejarse sobre los segmentos $OA_1$ . Esto es así porque las condiciones iniciales $$r(\theta_1=0)=r_1,\quad r'(\theta_1=0)=0,$$ también son invariantes bajo la transformación. La correspondiente sobre cualquier otro segmento $OA$ que no es una apsis, no ocurrirá en general, porque $$r'(\theta=0)=v_\theta\neq 0,$$ puede no ser invariable. Gracias por @AloneAndConfused para señalar que la respuesta fue de hecho int la simetría de reflexión de la ecuación.