Escribir una prueba para $f(W) \setminus f(X) \subseteq f(W\setminus X)$

Question

Estoy intentando escribir una prueba para demostrar/refutar la siguiente pregunta:

¿Será siempre cierto que $f(W\setminus X) = f(W)\setminus f(X)$ ?

Se que para demostrarlo tienes que mostrar los dos sentidos ya que tienes = signo. He encontrado un contraejemplo para $f(W\setminus X) \subseteq f(W)\setminus f(X)$ . Sin embargo, sé $f(W)\setminus f(X)\subseteq f(W\setminus X)$ es cierto, porque me han dicho que es cierto, pero no entiendo cómo es cierto y por lo tanto no sé cómo escribir la prueba de ello. ¿Podría alguien explicarme por qué es verdad o mostrarme cómo se escribiría la prueba?

Answer 1

Sea $ y \in f(W) \backslash f(X)$ entonces $\exists w \in W, f(w)=y, w \notin X$ . Pero esto sólo implica que hemos encontrado $w \in W \backslash X$ tal que $y=f(w).$ Por lo tanto $f(W) \backslash f(X) \subset f(W)\backslash f(X).$