Grupos Suzuki y Ree, desde el punto de vista de los grupos algebraicos

Question

Los grupos Suzuki y Ree suelen tratarse a nivel de puntos. Por ejemplo, si $F$ es un campo perfecto de característica $3$ entonces el grupo Chevalley $G_2(F)$ tiene un automorfismo inusual de orden $2$ que cambia subgrupos raíz largos por subgrupos raíz cortos. Los puntos fijos de este automorfismo, forman un subgrupo de $G_2(F)$ que creo que se llama grupo Ree.

Una construcción similar es posible cuando $F$ es un campo perfecto de característica $2$ utilizando grupos Chevalley de tipo $B$ , $C$ y $F$ que conducen a los grupos Suzuki. Pido disculpas si mi nomenclatura no da en el blanco. No estoy seguro de qué grupos son atribuibles a Suzuki, a Ree, a Tits, etc..

Desgraciadamente (para mí), la mayoría de los tratamientos de estos grupos Suzuki-Ree utilizan teoría de grupos abstracta (generadores y relaciones). ¿Existe un tratamiento de estos grupos, como grupos algebraicos sobre un campo base? O estoy siendo tonto y estos no se pueden obtener como $F$ -puntos de grupos algebraicos.

Estoy tratando de entender las dos ideas siguientes: en primer lugar, que podría haber grupos algebraicos obtenidos como puntos fijos de un automorfismo algebraico que intercambia espacios de raíces largas y cortas. Segundo, que el grupo de automorfismo exterior de un grupo partido simple simplemente conectado como $G_2$ es trivial (los automorfismos de los diagramas de Dynkin significan automorfismos que preservan las longitudes de las raíces).

Así que supongo que estos grupos Suzuki-Ree son formas internas... así que debe haber alguna álgebra de Cayley inusual apareciendo en característica 3 para explicar una forma inusual de $G_2$ . O tal vez estos grupos no surgen de grupos algebraicos en absoluto.

¿Puede alguien identificar y resolver mi confusión?

Por último, ¿puede alguien identificar con precisión qué campos de característica $3$ o $2$ son necesarios para que funcionen las construcciones de los grupos Suzuki-Ree?

Answer 1

No es realmente una cuestión de formas internas. Lo que ocurre es que el grupo algebraico $G_2$ tiene un endomorfismo extra $\varphi$ cuyo cuadrado es el mapa de Frobenius (sobre el campo finito apropiado). Como para cualquier grupo algebraico sobre un campo finito $F$ sus puntos racionales sobre $F$ son las puntos fijos del endomorfismo de Frobenius los grupos Suziki son, por definición, los puntos fijos de $\varphi$ . De nuevo, al igual que el Frobenius, en puntos sobre la cierre algebraico de $F$ $\varphi$ es un automorfismo del grupo abstracto. Sin embargo, eso es engañoso, lo esencial es que es un endomorfismo (que definitivamente no es un automorfismo) del grupo algebraico. La mayoría de las propiedades de los puntos sobre $F$ de un grupo algebraico semisimple $G$ definido sobre $F$ se deduce de la teoría algebrogeométrica de $G$ y las propiedades del endomorfismo de Frobenius. Del mismo modo, la mayoría de las propiedades de los grupos de Suziki se deducen de la teoría algebrogeométrica de $G_2$ junto con las propiedades de $\varphi$ . En $\varphi$ es muy similar al endomorfismo de Frobenius este funciona casi igual que si $\varphi$ fuera efectivamente un endomorfismo de Frobenius.

Anexo : Un simple ejemplo de la similitud de $\varphi$ a un Frobenius considere el problema de calcular el orden de los grupos Suzuki. Como el cuadrado de $\varphi$ es el Frobenius, la acción de éste sobre el espacio tangente en cualquier punto fijo es nilpotente. Esto implica que dicho punto fijo aparece con multiplicidad uno en la fórmula de puntos fijos de Lefschetz y el orden de su grupo de puntos fijos es, por tanto, igual a la traza de Lefschetz sobre la cohomología (étale) del grupo algebraico $G_2$ . Esa cohomología puede expresarse canónicamente en términos de la acción del grupo de Weyl sobre el grupo de caracteres del toro maximal (véase por ejemplo el ejemplo en SGA 4 1/2) y cómo $\varphi$ actúa sobre ese grupo de caracteres forma parte esencialmente de la definición de $\varphi$ .

Answer 2

Para completar el relato de Torsten, los grupos Suzuki originales de tipo $C_2$ en característica 2 resultaron de una investigación puramente teórica de grupos, pero luego se recuperaron en el entorno de grupos algebraicos. Los grupos Ree de tipos $F_4, G_2$ en las características respectivas 2, 3 se construyeron dentro de los grupos Chevalley de estos tipos, pero también fueron recuperados de manera uniforme por Steinberg en Endomorfismos de grupos algebraicos (Memorias de la AMS). También hay un relato completo en mi reciente volumen LMS Lecture Note Representaciones modulares de grupos finitos de tipo Lie (Cambridge, 2006). Torsten esboza el punto de vista de los grupos algebraicos. Los grupos de Suzuki y Ree no surgen de la clasificación de división frente a cuasisplit sobre campos finitos, sino que tienen que ver con la teoría de Chevalley isogenias especiales que intercambian longitudes de raíz utilizando un automorfismo de campo finito. Los órdenes de los campos finitos con los que se empieza son los impar potencias de 2, 3 respectivamente. Pero la notación es complicada, ya que a algunas personas les gusta expresar las cosas en términos de raíces cuadradas para que los órdenes de los grupos finitos se parezcan a los de los grupos partidos correspondientes.

Dado que los grupos Suzuki y Ree tienen pares BN, es popular entre los teóricos de grupos finitos utilizar este punto de vista para estudiarlos (simplicidad, etc.).

Answer 3

En segunda parte de Karsten Naert tesis construye grupos Suzuki-Ree como grupos de puntos de "grupos algebraicos sobre $\mathbb{F}_{\!\sqrt{p}}$ ". Al no existir tales campos, estos "grupos algebraicos" no se entienden como esquemas, sino como los llamados "esquemas retorcidos". Viven en la categoría de pares $(X, \Phi_X)$ donde $X$ es un esquema y $\Phi_X\in \operatorname{End}(X)$ satisface $\Phi_X\circ\Phi_X=F_X$ el morfismo de Frobenius.

Otra forma describir los grupos Suzuki-Ree como algo "definido por ecuaciones" (no algebraicas, sino diferencia-algebraicas) es comparar dos representaciones fundamentales del grupo Chevalley ambiente en característica 2 ó 3, cuyos pesos más altos $\lambda$ y $\mu$ se intercambian por la simetría excepcional. Resulta que estas representaciones tienen la misma dimensión, por lo que se considera el grupo de todas las $g$ tal que $\tau g_ \lambda=g_\mu\tau$ donde $\tau^2$ es el morfismo de Frobenius. Esto produce los grupos de Suzuki-Ree, no requiere generadores ni relaciones y funciona sobre cualquier anillo de característica $p$ admitiendo tal $\tau$ (en particular, el campo de definición no tiene por qué ser perfecto).