¿Están todos los primos en un PAP-3?

Question

Van der Corput [1] demostró que existen infinitas progresiones aritméticas de primos de longitud 3 (PAP-3). (Green y Tao [2] extendieron famosamente este teorema a la longitud $k$ .)

Pero tomando esto en una dirección diferente, ¿son todos ¿Primas Impares en un PAP-3? Es decir, para cada primo $p>2$ ¿existe un $k$ tal que $p+k$ y $p+2k$ ¿son primos?

Como era de esperar, los 100.000 primeros primos tienen esta propiedad; el mayor valor de $k$ necesario es de sólo 1584 (véase [4] y también [5], donde se amplía considerablemente). Heurísticamente, se esperaría que un primo dado estuviera en $$\int_2^\infty\frac{a\ dx}{\log(x\log x)}=+\infty$$ diferentes PAP-3, y no hay pequeños obstáculos primarios, por lo que la conclusión parece razonable. Por otro lado, parece implicar patrones aditivos de tipo Goldbach (o mejor, de tipo Sophie Germaine) en los primos: en esencia, estamos buscando primos $q$ , $2q-n$ para un impar fijo $n$ así que no creo que esto se haya resuelto.

Básicamente, estoy buscando más información sobre este problema. Seguramente ya se ha planteado antes, pero ¿tiene un nombre común y/o una cita? ¿Se ha demostrado algún resultado parcial? ¿Quizás sea una consecuencia de una conjetura bien conocida?

[1] A. G. van der Corput (1939). "Sobre sumas de números primos y cuadrados primos", Anales Matemáticos 116 , pp. 1-50.

[2] Ben Green y Terence Tao (2008). "Los primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas", Anales de Matemáticas 167 , pp. 481-547. http://arxiv.org/abs/math/0404188

[3] Amarnath Murthy, http://oeis.org/A084704

[4] Giovanni Teofilatto, http://oeis.org/A120627

[5] Charles R Greathouse IV, https://oeis.org/A190423

Answer 1

Esta pregunta es muy parecida a ésta

Cubrir los primos mediante AP de 3 términos ?

aunque no exactamente iguales.

Por las mismas razones que se describen en la respuesta dada allí, la respuesta a su pregunta es casi seguro que sí, pero una prueba está más allá de la tecnología actual, exactamente como usted sugiere. No sé si el problema tiene un nombre específico.

Demostrar que 3 pertenece a un 3PAP es, por supuesto, trivial: pertenece a 3,5,7 o 3,7,11. Demostrar que hay infinitos 3PAP es, como usted señala, un problema del mismo nivel de dificultad que la conjetura de los primos de Sophie Germain o la conjetura de los primos gemelos.

Para un p general, me parece extremadamente improbable que puedas demostrar que hay un k > 0 tal que p + k, p + 2k sean ambos primos sin demostrar que hay infinitos. Demostrarlo incluso para un valor de p sería un gran avance.

Creo que se podría demostrar que casi todos los primos p tienen esta propiedad utilizando el método del círculo de Hardy-Littlewood.