I, maxima y WolframAlpha están luchando para evaluar la siguiente integral: $$ \int_{0}^{\infty} {x^{-\frac{1}{2}}\exp{\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\,\sigma^2}\right)}}dx $$ Debería existir una distribución de probabilidad con la que se pudiera modelar esta función y utilizar su normalización para la integración, pero tampoco la he encontrado.
Respuestas
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I Maxima y Wolfram Alpha se esfuerzan por evaluar la siguiente integral .
¡Vaya! No me extraña que tengas problemas. Aparentemente, $$F\Big(\mu~,~\sigma\Big)~=~\sqrt{-\frac\mu2}\cdot\exp\bigg[-\bigg(\frac\mu{2~\sigma}\bigg)^2~\bigg]\cdot K_{\tfrac14}\bigg[\bigg(\frac\mu{2~\sigma}\bigg)^2~\bigg],$$ pour $\color{blue}{\mu<0}$ et $$F\Big(\mu~,~\sigma\Big)~=~\frac\pi2~\sqrt\mu\cdot\exp\bigg[-\bigg(\frac\mu{2~\sigma}\bigg)^2~\bigg]\cdot \bigg\{~I_{\tfrac14}\bigg[\bigg(\frac\mu{2~\sigma}\bigg)^2~\bigg]~+~I_{-\tfrac14}\bigg[\bigg(\frac\mu{2~\sigma}\bigg)^2~\bigg]~\bigg\}~,$$ pour $\color{blue}{\mu>0}$ donde I y K son los Funciones de Bessel . Para $\mu=0$ tenemos $F\big(\sigma\big)~=~\sqrt[\Large^4]{\dfrac{\sigma^2}8}\cdot\Gamma\bigg(\dfrac14\bigg)$ .
Kollas Nikolaos
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Muchas gracias - mientras tanto pude más o menos adivinar la solución para > 0 y pude confirmarla por integración numérica. ¿Cómo lo has conseguido?
Para $\mu<0$ sólo hay que poner $$x=-2\mu\sinh^2\frac{t}{4},$$ con $0\leq t\leq \infty$ y combinarla con la representación integral de la función de Bessel modificada del segundo tipo $$K_\nu(x)=\int_0^\infty e^{-x\cosh{t}}\cosh{(\nu t)}dt,\quad Re(x)>0.$$
Para $\mu>0$ dividir la integral en tres partes $$F(\mu,\sigma)=I_1+I_2+I_3$$ donde $$I_1=\int_0^\mu x^{-1/2}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]dx$$ $$I_2=\int_\mu^{2\mu} x^{-1/2}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]dx$$ $$I_3=\int_{2\mu}^\infty x^{-1/2}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]dx,$$ y establece $$x=\mu(1-\sin\frac{\theta}{2})$$ con $0\leq\theta\leq\pi$ para $I_1$ , $$x=\mu(1+\sin\frac{\theta}{2})$$ con $0\leq\theta\leq\pi$ para $I_2$ , $$x=2\mu\cosh^2\frac{t}{4}$$ con $0\leq t\leq\infty$ para $I_3$ .
Para $\mu=0$ set $x=\sqrt{2}\sigma y$ y utilizar la definición de la función gamma.
