¿Condiciones para obtener un logaritmo real de una matriz compleja unimodular unitaria?

Question

El planteamiento del problema es el siguiente:

$$U=\exp\{iV\}$$

donde $U$ es una matriz unimodular unitaria de la siguiente forma:

$$U=\begin{bmatrix}u_1+iu_2&u_3+iu_4\\-u_3+iu_4&u_1-iu_2\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{2\times2}$$

con

$$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=1, u_j\in\mathbb{R} \ \forall j\in\{1,...,4\}$$

y donde $V\in\mathbb{R}^{2\times2}$ et $i$ es la unidad imaginaria.

Busco soluciones $V\in\mathbb{R}^{2\times2}$ de este problema. ¿Qué condiciones, en general, deben cumplirse para que el logaritmo de $U$ sea una matriz real, es decir

$$-i\log\{U\}=V\in\mathbb{R}^{2\times2}$$

Answer 1

En términos de Matrices de Pauli :

$$U=u_1I+iu_2\sigma_3+iu_3\sigma_2+iu_4\sigma_1,\;\;u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=1,$$ $$V=\alpha (n_1\sigma_1+n_2\sigma_2+n_3\sigma_3),\;\;n_1^2+n_2^2+n_3^2=1,$$ $$\exp(iV)=I\cos\alpha + i(n_1\sigma_1+n_2\sigma_2+n_3\sigma_3)\sin\alpha.$$ (todos los coeficientes $\alpha$ , $u_k$ , $n_k$ son reales). Por tanto, equiparar $U=\exp(iV)$ da $$u_1=\cos\alpha,\;\;u_4=n_1\sin\alpha,\;\;u_3=n_2\sin\alpha,\;\;u_2=n_3\sin\alpha.$$

Quieres $V$ sea real, lo que significa que $n_2$ debe desaparecer, por lo que necesita $u_3=0$ .