Límite $\lim_{x\to 0} \frac{-\frac{2x}{e}}{\ln(1+(-\frac{2x}{e}))}$

Question

Ya lo sé: $$\lim_{a\to 0} \frac{\ln(1+a)}{a}=1$$

Pero, ¿por qué $$\lim_{x\to 0} \frac{-\frac{2x}{e}}{\ln(1+(-\frac{2x}{e}))}$$ ¿1 también?

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$$\lim_{x\to 0} 1 : \frac{\ln(1+(-\frac{2x}{e}))}{-\frac{2x}{e}}=1:\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+(-\frac{2x}{e}))}{-\frac{2x}{e}}=1:1=1$$

¿Está bien?

Answer 1

Sea $y=-2x/e$ . Entonces, como $x\to 0$ , $y\to 0$ .

A continuación, vemos que

$$\frac{(-2x/e)}{\log(1+(-2x/e))}=\frac{y}{\log(1+y)}=\frac{1}{\frac{\log(1+y)}{y}}$$

Por lo tanto, podemos afirmar que

$$\lim_{x\to 0}\frac{(-2x/e)}{\log(1+(-2x/e))}=\frac{1}{\lim_{y\to 0}\frac{\log(1+y)}{y}}=1$$

¡como se iba a demostrar!

Answer 2

Sugerencia . Tenemos $$ x \to 0 \Longleftrightarrow -\frac{2x}{e} \to 0. $$

Answer 3

Pista: La función $f(x)=1/x$ es continua, por lo que $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(\lim_{n\to\infty} x_n)$ siempre que la secuencia no tienda a cero.