¿Cuál es el ámbito y el alcance de $f(x,y)=x^4/(x^4 + y^2)$ ?

Question

Creo que el dominio es:

x,y no puede ser igual a 0 O x puede ser cualquier número real pero y no puede ser igual a 0

y el rango, bueno, simplemente no tengo ningún enfoque en la solución de la misma. ¿Se supone que lo sé porque es una función racional? o ¿hay algún método adecuado para encontrar el rango? Sé que la función es siempre positiva debido a que los términos tienen cuadrados, por lo que debe ser mayor que 0, pero ¿cómo encontrar el límite final?

Answer 1

Sugerencia . Se puede observar que $$ 0\le\frac{x^4}{x^4+y^2}\le 1, \qquad (x,y)\neq (0,0). $$ ¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 2

Para el dominio tenga en cuenta que $$ x^4 + y^2=0\iff(x,y)=(0,0). $$ Por lo tanto, el dominio es $\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}$ .