Ejemplos de pérdida de regularidad por "creación de topología"

Question

Me gustaría tener una lista lo más general posible de ejemplos de situaciones en las que la densidad de objetos lisos en alguna "clase natural" (el significado de "natural" depende del problema considerado) falla, dando lugar a clasificaciones topológicas interesantes. Lo que me viene a la mente son los siguientes hechos famosos:

1) La condición para $C^\infty(\mathbb R^k, M^n)$ sea denso en los espacios de Sobolev con valores múltiples $W^{1,p}(R^k, M^n)$ es que el grupo homotópico $\pi_{[p]}(M)$ debería ser trivial.(Hang-Lin)

[esto era un poco general, pero da la idea de lo que estoy buscando, ¡tal vez!]

2) Un mapa $u$ en $W^{1,2}(B^3,S^2)$ está en el cierre de $C^\infty(B^3, S^2)$ si y sólo si para cualquier $2$ -forma $\omega$ en $S^2$ tal que $\int_{S^2}\omega\neq 0$ uno tiene $d(u^*\omega)=0$ (Bethuel-Coron-Demengel-Helein)

3) En $4$ dimensiones, si el funcional Yang-Mills es finito en una conexión $A\in L^2(M^4)$ entonces la curvatura $F_A$ de $A$ realiza una clase de Chern integral (es decir, el número $c_2(A):=1/(8\pi^2)\int_{M^4}Tr(F_A\wedge F_A)$ es un número entero).(Uhlenbeck)

(Quizás también podría formular la pregunta de otra manera, preguntando por situaciones matemáticas que tengan la "pérdida de diferenciabilidad" vía "creación de nueva topología" análoga a la lista anterior).

Answer 1

Imagino que mi respuesta parecerá un poco extraña, pero creo que se ajusta al título de tu pregunta (puede que no sea realmente lo que tenías en mente), aunque es más una descripción de una situación en la que el fallo de la densidad se utiliza para crear nuevos objetos que una nueva clasificación topológica.

Lo intento con cierta motivación. En la teoría (ciclotómica) de Iwasawa uno encuentra naturalmente objetos algebraicos de interés aritmético (típicamente, algún grupo de cohomología de algún tipo de criatura aritmética/geométrica) a los que uno quisiera adjuntar un objeto analítico, llamado $p$ -adic $L$ función que debe recordar muy bien, o saber mucho, sobre el objeto algebraico. La forma de conseguirlo es

1. Darse cuenta de que el objeto algebraico $X$ que tienes en tus manos es el módulo sobre $\mathbb{Z}_p$

2. Existe un grupo topológico $\Gamma$ que es procíclico (límite proyectivo de grupos cíclicos finitos) actuando continuamente sobre $X$ : por alguna álgebra conmutativa fácil, esto dice $X$ es un módulo sobre $\mathbb{Z}_p[[T]]$

3. Obsérvese que las series de potencias en $\mathbb{Z}_p[[T]]$ son funciones naturalmente analíticas (es decir, que admiten una expansión en serie de potencias...) sobre algunas $p$ - el espacio radical.

4. De una forma u otra, intenta adjuntar una función $L_p(X,s)$ en $\mathbb{Z}_p[[T]]$ a su objeto $X$ utilizando que este último objeto tiene una acción por cosas que son funciones analíticas.

Ahora la aplicación. Se desea que la construcción anterior caracterice $L_p(X,s)$ de forma única: para ello, el hecho de que las funciones localmente constantes sean densas en el álgebra de todas las funciones continuas $$f:\Gamma\to\mathbb{C}_p$$ cuando está dotada de la sup-norma, es una herramienta crucial (a través de algún tipo de $p$ -de Fourier). Esta unicidad se cumple a veces (por ejemplo, si $X$ procede de una forma modular que es "ordinaria en $p$ "), pero a veces es necesario permitir funciones analíticas más generales que aquellas cuya expansión en serie de potencias tiene todos los coeficientes en $\mathbb{Z}_p$ (el caso de la "reducción supersingular"). Para producir estas funciones analíticas "más generales", se dota al álgebra de funciones continuas de una norma diferente $|\cdot |_r$ (para algunos $r\in\mathbb{N}$ ) en la que las localmente constantes ya no son densas - las que se vuelven densas son las localmente polinómicas con grados en $[0,r]$ . Entonces, retransformando vía Fourier, el dual topológico de las funciones continuas con la norma $|\cdot |_r$ se hace lo suficientemente grande como para contener el $p$ -adic $L$ función de formas modulares con reducción supersingular. Un artículo donde se describe todo esto es Texto de Colmez sobre funciones de una $p$ variable -ádica (en francés).

Advertencia final: lamentablemente, la conexión entre el $p$ -adic $L$ -se construye de esta manera y el objeto algebraico es (a menudo) sólo conjetural.

Answer 2

No respondo directamente a tu pregunta, pero tal vez te sugiera algo: para demostrar que una acción lineal de un grupo G sobre un espacio vectorial topológico V es una "representación genuina, en el sentido de que G x V -> V es continua, cuando V es un espacio de funciones sobre un espacio X sobre el que G actúa (continuamente), normalmente uno quiere/demuestra que las funciones continuas compactamente soportadas (o tal vez funciones de prueba...) son densas en V.

Esto falla en situaciones simples, como L^ \infty en la recta real, con la acción de \R sobre sí misma, por razones sencillas (aunque no muy topológicas).

Así pues, la cuestión es que las afirmaciones de densidad aparentemente naturales pueden fracasar por razones sencillas.