Consolidación: La posmatemática de las modas

Question

De Frank Quinn LA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS BÁSICAS CONTEMPORÁNEAS : "Las matemáticas tienen modas ocasionales, pero en su mayor parte son una actividad solitaria a largo plazo. a largo plazo. En consecuencia, la comunidad carece de las costumbres desarrolladas en física para tratar con de las modas pasajeras. Si los matemáticos desertan de una zona, nadie viene a a limpiarla. La falta de mecanismos de limpieza a gran escala hace que las áreas matemáticas sean vulnerables a problemas de control de calidad. Hay una serie de áreas que en su día estuvieron de moda que no se limpiaron y que serán difíciles de desentrañar cuando los desarrolladores no estén disponibles. Los organismos de financiación podrían estar atentos y patrocinar una actividad de revisión y consolidación al estilo de la física cuando ocurra".

¿Puede dar ejemplos de sectores que en su día necesitaron consolidación?

Answer 1

Dado que el artículo de Quinn es un largo artículo de opinión que, según él, está completo en un 90% y admite comentarios, parece totalmente apropiado ponerse en contacto con él para que aclare este punto. Probablemente estará encantado de darle más información.

Un ejemplo que me viene inmediatamente a la mente es la clasificación de los grupos simples finitos. Esta fue, con un margen seguro, la actividad de colaboración a mayor escala en la historia de las matemáticas, que tuvo lugar a lo largo de una década más o menos. Los relatos que he leído describen a Aschbacher, Thompson y (sobre todo) Gorenstein como generales del ejército supervisando una guerra: eran los que tenían una visión más clara de la estructura global del argumento y la utilizaban para repartir y subcontratar varias partes de la prueba. Por lo que sé hasta ahora, es mucho más habitual que un matemático visionario (por ejemplo, Langlands, Thurston, Hamilton) establezca un programa en el que otros matemáticos se inspiren para trabajar como mejor les parezca, que tener este tipo de organización explícita de arriba abajo.

El resto de la historia es bien conocida: a principios de los 80, Aschbacher, Thompson y Gorenstein fueron fotografiados en un portaaviones delante de una pancarta de victoria (en sentido figurado, por supuesto) y todos los demás teóricos del grupo gritaron hurra y se marcharon. Pero algunas partes clave del argumento nunca se habían publicado en forma alguna, como un pequeño número de matemáticos (por ejemplo, Serre) se pasó los 20 años siguientes recordando a la comunidad. Parece justo decir que los teóricos de los grupos finitos se fueron demasiado pronto. No sé realmente por qué ni qué motivó exactamente el reciente resurgimiento moderado del interés por la clasificación, incluida la publicación en 2004 (¡!) de una obra en dos volúmenes que completa el caso cuasi finito (sólo se necesitaron 1.300 páginas adicionales). En los últimos años parece que ha habido "la cantidad justa" de ordenación de este argumento masivo por parte de los implicados en los esfuerzos de clasificación de "segunda generación" y "tercera generación".

Véase

http://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups

y sus referencias. Especialmente recomendable es el artículo de Aschbacher Notices 2004

http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf

que, además de estar escrito con gracia y ser informativo, es admirablemente franco.

Answer 2

En los años setenta y ochenta del siglo pasado, la existencia y clasificación de haces vectoriales sobre el espacio proyectivo $\mathbb P^n$ estaban de moda, con contribuciones de luminarias como Artin, Atiyah, Hartshorne y Mumford, entre muchos otros. Tengo la sensación de que no se ha avanzado mucho desde entonces.

Por ejemplo, hasta donde yo sé, la pregunta aparentemente ingenua de Hartshorne "¿Existe un haz vectorial algebraico indecomponible de rango 2 en $\mathbb P^n_k \; ?\:"$ sigue abierto para todos los campos $k$ y todos los números enteros $n\geq 6$ .

Actualización [Mis colegas André Hirschowitz y Arnaud Beauville, que están bien informados sobre estas cuestiones, me han permitido informar de que se sienten bastante seguros de que la cuestión de Hartshorne sigue sin resolverse.

Answer 3

En el correo electrónico, Frank Quinn menciona que Teoría de la cirugía de los años 70 y 80 tiene una literatura mayoritariamente primaria dirigida a otros expertos, carece de libros de texto y ahora cuenta con poca gente nueva trabajando en ella.

A mí me parece un problema similar al de documentar adecuadamente un programa informático a medida que se avanza para que otros (y tu yo futuro) puedan entenderlo; de lo contrario, volver a él puede requerir el mismo o mayor esfuerzo que se necesitó para crearlo en primer lugar, pero la tentación es escatimar en eso y simplemente seguir adelante.

Answer 4

Es curioso que menciones que la física puede ocuparse de esto, porque, como físico, veo lo contrario todo el tiempo. De hecho, el otro día discutía con un amigo sobre la necesidad imperiosa que tiene la física de limpieza, organización y consolidación. Sin embargo, creo que muchos matemáticos tienen esta impresión (equivocada) de la física, porque tienden a obtenerla de libros con títulos como "Mecánica cuántica para matemáticos". (Permítanme asegurarles que la mayoría de los físicos encontrarían esos libros en gran medida incomprensibles).

Un gran problema de la formación actual de los físicos es que hay mucha redundancia innecesaria, con temas presentados de formas completamente distintas y con métodos diferentes para resolver problemas idénticos en contextos diferentes por razones puramente históricas.

Por ejemplo, la mayoría de los físicos nunca se dan cuenta de que muchas de las herramientas que utilizan en la teoría de campos son idénticas a las utilizadas en la relatividad general. Si aprenden ambas, la mayoría tiene que aprender las mismas herramientas dos veces y nunca se da cuenta de que son idénticas, ¡porque parecen muy diferentes!

Answer 5

Algo que me viene directamente a la mente es el cálculo de variaciones, en el sentido clásico, donde de lo que se trata es de obtener resultados rigurosos mediante el análisis matemático.

Ahora bien, probablemente haya varios tipos típicos de objeción aquí. En primer lugar, el campo no está realmente inactivo: los físicos lo utilizan de la misma manera que siempre; se discuten varios tipos de "formalismo variacional", por ejemplo en la teoría del solitón; y los matemáticos han "rodeado" este campo mediante el uso de la teoría de Morse y los mapas de momentos, para salir de la formulación tradicional y entrar en campos de la geometría.

Pero en términos de identificar una "ruptura de la tradición" (no estoy totalmente de acuerdo con el encuadre de Quinn de la cuestión, pero es bastante real cuando los que escribieron los documentos ya no están alrededor) yo diría que no hay una línea de libros de texto que continúa a partir de los tratamientos de principios del siglo XX. Es posible que pocas personas sepan lo que se consideraba importante en esa línea de desarrollo. Conozco trabajos sobre problemas variacionales (por ejemplo, el problema de Plateau) que son bastante actuales, pero eso ilustra una tendencia, la de convertir un problema dado en una teoría propia. De todos modos, ¿saben los matemáticos en general por qué Jesse Douglas recibió la Medalla Fields en 1936? ¿Cuántos pudieron leer sus artículos?