cierta confusión sobre supremum e infimum

Question

Sea $a_{mn}$ sea una matriz doble o números reales. Definir $$A=\liminf_{n\rightarrow \infty} \limsup_{m\rightarrow\infty}a_{mn}\\B=\limsup_{n\rightarrow \infty} \liminf_{m\rightarrow\infty}a_{mn},$$

Entonces, ¿cuál es la verdad?

1. $A\le B$
2. $A\ge B $

Mi intento :

Creo que la opción $1$ que $A\le B$ es verdadera porque el supremum es siempre mayor que el infimum.

¿Es correcto? Agradeceríamos cualquier sugerencia o solución.

Answer 1

Por supuesto, el supremum siempre es mayor o igual que el infimum. Sin embargo, si se tienen mezclas de $\limsup$ y $\liminf$ es indeciso cuál es mayor. Por ejemplo $$ a_{mn} = (-1)^n (1-\frac{1}{2^m}). $$ Entonces tenemos $$ 1=\liminf_{m\to\infty}\limsup_{n\to\infty}a_{mn} >\limsup_{m\to\infty}\liminf_{n\to\infty}a_{mn} =-1 $$ mientras que $$ -1=\liminf_{n\to\infty}\limsup_{m\to\infty}a_{mn}<\limsup_{n\to\infty}\liminf_{m\to\infty}a_{mn}=1. $$