Teoría superrenormalizable y $\beta$ -función

Question

Existe la afirmación de que $\beta$ -desaparece para las teorías superrenormalizables. En $D=2$ El campo escalar tiene masa de dimensión cero. Así que cualquier interacción polinómica es super-renormalizable. Entonces, ¿no deberían todas ellas tener desvanecimiento $\beta$ -¿funciones? Pero hay muchas teorías (por ejemplo, sine-Gordon) en $2D$ que tienen $\beta$ -función. Me debo estar perdiendo algo muy básico aquí.

Answer 1

En un qft, puede ser posible redefinir otros parámetros distintos del acoplamiento para absorber los infinitos procedentes de correcciones de orden superior. De este modo, la constante de acoplamiento no se renormaliza y, por tanto, la función beta desaparece. Es una posibilidad en la teoría superrenormalizable ya que menos diagramas son divergentes y la condición puede ser satisfecha.

Como ejemplo para el modelo Sine- Gordon, la acción es

$$\mathcal{S}(\theta)=\int d^2x [\frac{1}{2}(\partial_\mu\theta(x))^2-\frac{m^2}{k^2}cosk\theta(x)]$$ Redefiniendo, $\theta=k\theta$ da $$\mathcal{S}(\theta)=\frac{1}{t}\int d^2x [\frac{1}{2}(\partial_\mu\theta(x))^2-m^2cos\theta(x)]$$ con $t=k^2$ . La expansión perturbativa en la potencia de k sólo modifica la $cos\theta$ como una interacción propia y las divergencias que surgen pueden ser absorbidas por una redefinición de m. De esta manera, la constante de acoplamiento no se renormaliza y por lo tanto la función beta desaparece.

Esta propiedad no es cierta en general, ya que la desaparición de la función beta en todos los órdenes implica una teoría finita ( $\mathcal{N}=4$ SYM), que es un resultado que debe obtenerse a partir de un análisis no-perturbativo, a menos que sea trivialmente cierto como en el caso anterior. La mayoría de los qft existen perturbativamente y la existencia de puntos fijos no se conoce de forma no perturbativa. Una teoría superrenormalizable no tiene una función beta evanescente en general, como puede verse en $\phi^3$ función beta de la teoría que en dimensión d se lee,

$\beta(g)=(d/2-3)g-\frac{3g^3}{256\pi^3}+O(g^5)$ ( Collins "Renormalización", ecuación 7.3.7)

$\phi^3$ es superrenormalizable para $d<6$ pero $\beta$ no es cero. Sin embargo, muestra libertad asintótica, que es una propiedad de las teorías superrenormalizables (aunque no conozco la prueba).