Campo electromagnético y los campos vectoriales continuos y diferenciables

Question

Tenemos nociones de derivada de una continua y diferenciable campos vectoriales. Las operaciones como curl,divergencia etc. han definido bien precisa nociones para estos campos.

Sabemos electrostático y magnético los campos estáticos en realidad no se comporta bien. Que soplan en las fuentes, han discontinuidades y, sin embargo, utilizamos el mismo formulaciones matemáticas para ellos como lo habría hecho para la continua y diferenciable de campo vectorial.

¿Por qué se hace esto ? ¿Por qué son las leyes del electromagnetismo(las ecuaciones de maxwell), expresada en los llamados formas diferenciales cuando claramente que la teoría matemática no es perfectamente coherente con el campo electromagnético. ¿Por qué no utilizar una nueva estructura matemática ?

Hay un recurso que me puede ayudar a superar estos problemas sin handwaving en casos particulares, cuando los métodos parecen dar resultados equivocados?

También una de las principales preocupaciones es que, dada una carga de distribuciones, las ecuaciones de maxwell en forma diferencial, siempre va a dar un muy bien comportado continua y diferenciable campo de vectores solución. Pero la forma integral (solo, la no satisfacción de la diferencial de la forma) puede dar un discontinua solución. Dando lugar a dos respuestas diferentes para la misma configuración de los cargos. por lo tanto, hay una incoherencia. Como hay un discontinua solución para la condición de contorno de superficie 2D, la componente perpendicular del campo eléctrico es discontinuo. ( Puede ser que es sólo una aproximación) y de hecho, el campo es continuo, pero debido a que no es capaz de resolver la ecuación diferencial nos dan ejemplo de una aproximación, pero esto no es mencionado en los libros de texto.

Answer 1

Tenemos también la misma nociones de derivación, curl, etc... para las funciones que son menos regulares. Al escribir las ecuaciones de Maxwell, se escribe un sistema de ecuaciones diferenciales parciales.

Para investigar con ellos, usted tiene que especificar el tipo de solución que buscar (en el lenguaje de las ecuaciones en derivadas parciales: clásico, suave, débil...) y el espacio funcional que se establece su teoría. Un espacio natural para que los campos eléctrico y magnético es $L^2(\mathbb{R}^3)$, debido a que este es el espacio de energía (en donde la energía $\int_{\mathbb{R}^3}(E(x)^2+B(x)^2)dx$ está definido). También más regular subespacios, tales como los espacios de Sobolev con positivo del índice, o espacios más grandes como los espacios de Sobolev con la negativa del índice son a menudo considerados.

Estos espacios se basan en el concepto de que en casi todas partes, es decir, pueden comportarse mal, pero sólo en un conjunto de puntos con cero de la medida. También, los espacios de Sobolev generalizar, a grandes rasgos, el concepto de derivada. Te sugiero que eche un vistazo a algunos de un curso introductorio de ecuaciones en derivadas parciales y espacios funcionales. Un estándar de referencia puede ser el libro de Evans, o también la obra monumental de Hörmander.

Comentario a la edición: es que no es cierto que

las ecuaciones de maxwell en forma diferencial, siempre va a dar un muy bien comportado continua y diferenciable campo de vectores solución

Considere, por ejemplo, la ecuación estática \begin{equation*} \nabla\cdot E=\rho \; . \end{ecuación*} Para investigar esta ecuación, usted tiene que dar un significado preciso. ¿Qué son los $E$$\rho$? Supongamos que, como usted ha dicho, que $\rho$ algunos es discontinua la función. Entonces es muy extraño a buscar soluciones de $E$ que son suaves y bien portado! Hemos objetos matemáticos que pueden comportarse peor aún que las funciones discontinuas, y se denominan distribuciones. En particular, estamos interesados en la distribución de doble para las funciones de la rápida disminución, que se llama $\mathscr{S}'(\mathbb{R}^3)$. Sin entrar en detalles, todas las funciones en $L^p(\mathbb{R}^3)$, $1\leq p \leq \infty$ son distribuciones en $\mathscr{S}'$, así como de Dirac de la función delta y sus derivados. Y matemáticamente, es perfectamente legítima para mirar a la divergencia de la ecuación anterior en el sentido de distribuciones: es decir, a la búsqueda de una distribución $E\in(\mathscr{S}'(\mathbb{R}^3))^3$ de manera tal que su distribución divergencia $\nabla\cdot E \in \mathscr{S}'(\mathbb{R}^3)$ es igual a $\rho\in\mathscr{S}'(\mathbb{R}^3)$. Supongamos que la ecuación admite una solución, entonces esta solución no sería, en general, una función regular, pero de una distribución. Puede ser, por ejemplo, una función discontinua en $L^1$, o una suma de derivados de la función delta.

De todos modos, como ya he escrito, es necesario que usted entienda mejor el concepto de Cauchy y problemas de valor de frontera para ecuaciones en derivadas parciales en espacios funcionales, y también el concepto de clásico, suave y débil soluciones para entender completamente la maquinaria detrás de las ecuaciones de Maxwell, y el significado matemático de una solución para un problema.

Answer 2

Algo como $\textbf{E}(\textbf{r}) \propto (\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime})/|\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime}|^{3}$ debido a un punto estático de carga no pertenecen a la clase adecuada de las funciones diferenciables, cuadrado integrable, etc.) para $\textbf{E}$ campos. En un matemáticamente preciso sentido, no es una solución a las ecuaciones de Maxwell.

Aún así, no se puede considerar sólo como un objeto intermedio (de la función de Green) en lugar de un producto final. Para obtener una solución real, siempre hacemos una convolución con una fuente, viz., \begin{equation} \textbf{E}(\textbf{r}) = \int d^{3}\textbf{r}^{\prime} \rho(\textbf{r}^{\prime})\frac{\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime}}{|\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime}|^{3}}. \end{equation}

Como las discontinuidades de los campos en los límites, podemos simplemente les permiten ser discontinua allí. No llevan a una situación patológica, por ejemplo, la energía es infinita. Las las ecuaciones de Maxwell (en formas diferenciales) son válidas sólo en el interior de cada región, y las soluciones de las diferentes regiones son agrupados de acuerdo a las condiciones de contorno.

Answer 3

Si he entendido bien, quieres riguroso formalismo matemático para el tratamiento de la PDE soluciones que no son diferenciables o no cuadrado integrable etc. Es decir, puedes tener esas cargas puntuales con los campos de soplado sobre ellos, los campos de no ser diferenciable en las fronteras y así sucesivamente.

Existe un riguroso formalismo para tratar este tipo de cosas. Se llama generalizada funcioneso distribuciones. Son ingeniosas y mathematicaly forma correcta de utilizar un "funciones" como la delta de Dirac o Los paso de la función.

Para darle un sabor de esas bestias voy a explicar vagamente cómo va en 1D. En términos generales, la generalización de la función se define como una transformación lineal $(f, c)$ a transportista funciones de $c$, con los transportista funciones de cero en todas partes, excepto algunos región finita y tener los derivados de cualquier orden. Un ejemplo de la generalizada función es la integral, $$(a, c) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x\,a(x) c(x),$$ donde $a(x)$ es una función integrable. La generalización de la función que es el más útil es $$(\delta, c) = c(0)$$ es el conocido Dirac de la función delta.

La derivada de una generalización de la función se define como $$ (f', c) = (f, -c'). $$ Es fácil ver que la motivación para tal definición, como $$\int_{-\infty}^{+\infty} dx\,\frac {df(x)}{dx} c(x) = f(x)c(x)\Big|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, f(x) \frac{dc(x)}{dx} = - \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, f(x) \frac{dc(x)}{dx}$$ porque de $c(x)$ cero por infinito $x$.

El uso de la derivada de la definición y de nuestro primer ejemplo generalizada de la función, uno encuentra que el cuadrado integrable Los $\theta(x) = \cases{0,& x < 0 \\ 1/2,& x = 0 \\ 1,& x > 0}$ que $$ (\theta', c) = (\theta, -c') = -\int_0^\infty dx\, \frac{dc(x)}{dx} = c(0) = (\delta x), $$ es decir, $\theta' = \delta$ en sentido de las funciones generales.

Es decir, he mostrado cómo un derivado de la no-función derivable puede ser introducido ;) El formalismo puede ser utilizado para encontrar no-diferenciable de soluciones de ecuaciones en derivadas parciales, incluyendo funciones Green.

Usted puede leer más de esta técnica aplicada a las ecuaciones en derivadas parciales, incluyendo electrostática problemas y ecuaciones de onda en Vladimirov del 'Ecuaciones de Mathemetical Física", y se puede leer un buen inroduction generalizado de las funciones de Gelfand y Shilov, Generalizadas de Funciones". Tenga en cuenta que los libros están libremente disponibles en ruso. También, no tengo ninguna duda de que usted puede encontrar otros libros sobre el tema más accesible para usted.

P. S.: por supuesto límite de discontinuidades son aproximaciones, pero son útiles siempre que no sumergirse profundamente en el microscópico. También, la técnica estaba hablando de que en realidad no ayudan con los problemas fundamentales de la electrodinámica como que se infla el potencial de un punto de carga, es QED lo que usted necesita si usted está demasiado cerca de un electrón, e incluso QED no es la respuesta definitiva al problema, sin embargo, y puede ser que no hay ninguna respuesta definitiva. Pero, de nuevo, como son el cálculo de campos macroscópicos, en general es aceptable el uso de la electrodinámica clásica.

Answer 4

Uno de los principales problemas que parece estar pasando aquí es que la noción de punto y de estructuras de la superficie de nuestro mundo 3D. A la hora de definir campos electroestáticos por una distribución de cargas puntuales, estamos siendo algo no-físico. Si seguimos el zoom sobre un electrón, que va a comenzar, no el aspecto de un punto de carga más. Considere la posibilidad de Darwin Plazo en la Estructura Fina de Hamilton. "La rápida oscilación cuántica se corra el cargo" quita la idea de un punto fijo de carga (aunque por el protón). Lo que es más importante en la electrostática es decir: en qué región se hace nuestro campo tiene que ser válido? La respuesta es sólo la región en la que estamos haciendo la física. Para una buena aproximación, el electrón se comporta como un punto de carga siempre y cuando usted no está en la parte superior de. Nuestro punto como la distribución de carga da un campo que es válido y una buena aproximación bastante mucho todo el camino hasta el punto en sí. Esto no necesita ser un problema. Vamos a comparar con un ejemplo de GR: En la normal de derivación de la Schwarschild Métrica en GR, estamos sólo se preocupa de la región fuera de la esférica cuerpo. Si el Schwarschild radio del cuerpo se encuentra fuera del límite físico de la esférica cuerpo, entonces nuestra solución comienza a producir comportamientos extraños, y eso es genial, pero nosotros nunca tratamos de ir en el mismo cuerpo el uso de esta métrica. Hay una región que nos interesa y se adhieren a ella y todo bien.

Hay un problema similar con cargas superficiales. Físicamente, no se puede confinar a cargo del plano. Usted puede hacer un muy buen trabajo en la aproximación del avión, pero al azar cuántico comportamiento pone un límite en su lugar. Tenemos que darnos cuenta de que el modelo no es una representación perfecta del mundo. Pero, el nivel normalmente estamos buscando, la normal de Campo E es bastante discontinua a través de una frontera y nuestra teoría es el límite que es discontinua. Eso no quiere decir que no sea útil. Si empezamos a ir a la derecha hasta ese límite, nuestro modelo se va a romper. Como un aparte, una esfera conductora no es una distribución uniforme de la materia. Si lo fuera, sería un matemático de la bola, y el Banch-Tarski paradoja habría algunas cosas muy interesantes que decir sobre el conductor. Si vamos a decir que vamos a desechar esta teoría debido a que el campo no está definido en todas partes, yo diría que deberíamos haber tirado a la basura antes, ya que de Banach-Tarkski. Si nos quedamos con la Electrodinámica de Maxwell, a continuación, necesitamos estudiar por sí mismo para asegurarse de que siempre estamos auto consistente.

Usted menciona la energía electrostática derivación dada en Griffiths texto en un comentario. Creo que estamos hablando sobre el Potencial Eléctrico de cálculo y la elección del punto de referencia. Si la distribución de carga se extiende hasta el infinito, no podemos utilizar el punto en el infinito como el cero de referencia en el cálculo de potencial debido a que el potencial de golpes hasta en el infinito. Esto es fundamental para la teoría de la usamos. Es equivalente a intentar utilizar el punto en un punto de carga como el cero. Hemos de utilizar la teoría como es. Si recuerdo correctamente, Griffiths va a decir que esos problemas no se producen en el mundo real, porque infinito de distribuciones no existen, lo que aporta una pequeña cantidad de la paz. Pero usted tiene que preguntarse a sí mismo si usted está realmente sorprendido cuando ineficiente cosas suceden porque jugando con la matemática curiosidades.

Preguntar acerca de una alternativa que no tiene estos problemas? No utilizamos la Electrodinámica de Maxwell para calcular electromagnética secciones transversales al chocar los electrones. Utilizamos QED. En QED, los electrones no tienen un campo Eléctrico como se hace en Maxwell. Los electrones van en, algo sucede, los electrones salen. Ese algo es el intercambio de fotones virtuales: el primer electrón excita el campo de fondo, y la excitación - el fotón, que se propaga y, a continuación, interactúa con los otros electrones. Hay muchos tipos diferentes de 'caminos' a través de los cuales esto puede suceder y tenemos que suma más de ellos, etc. Vamos no te agobies con la Teoría del Campo Cuántico, sin embargo, porque usted no necesita ser un experto para saber que está llena de infinitos.

Así que debemos de utilizar la totalidad del modelo estándar de lagrange para hacer todo? Bueno, no. Es probablemente vale la pena echar un vistazo a los dos grandes razones. En primer lugar, que no es una teoría de todo, no es de gravedad. En segundo lugar, las demandas computacionales de la dinámica de los 3 quarks + gluon plasma (+ cualquier otra cosa que se cuelga alrededor a través de la producción de par) es algo enorme, no importa lo que está pasando en mi vaso de agua en el quark nivel. Si se quiere decir algo útil acerca de mi vaso de agua, echamos un vistazo a los supuestos que podemos hacer y encontrar una simplificación de la teoría de la realidad podemos trabajar.

Realmente, lo que he encontrado es la desagradable verdad de la física. Estamos acostumbrados a escuchar todo el tiempo, pero por lo general no nos dais cuenta de lo que significa y que tan lejos está. La física es acerca de la modelización del universo. La Ley de Newton de la gravedad es un modelo. Trabaja en el campo débil límite, pero el GR es "mejor". Aceptamos que no es 100% pero sabemos que es bastante precisa, bajo ciertas condiciones, y es un infierno de mucho más fáciles de tratar. Aquí su evidente. Pero en el mismo sentido, el GR está mal, el modelo estándar de la física de partículas es incorrecto etc. Hay algunos supuestos fundamentales y tenemos que limitarnos a los problemas en los que los supuestos que se mantenga, o vamos y ganar un premio nobel.