Este es el ejercicio de 1.18 en la página 62 de reconocimiento de patrones y aprendizaje automático.
Podemos utilizar el resultado ( $\int_{-\infty}^\infty \exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2} \, \mathrm d x) = (2\pi\sigma^2)^{1/2}$ ) para obtener una expresión de la superficie $S_D$ y el volumen $V_D$ de una esfera de radio unitario en $D$ dimensiones. Para ello, consideremos el siguiente resultado, que se obtiene transformando de coordenadas cartesianas a polares:
(1) $\prod_{i=1}^D \int_{-\infty}^\infty e^{-x_i^2} \, dx_i = S_D\int_0^\infty e^{-r^2} r^{D-1} \, dr$
Utilizando la definición ( $\Gamma(x)=\int_0^\infty u^{x-1}e^{-u} \, du$ ), junto con ( $\int_{-\infty}^\infty \exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2} \, \mathrm d x)=(2\pi\sigma^2)^{1/2}$ ), evaluar ambos lados de la ecuación y, por tanto, demostrar que:
(2) $S_D=\frac{2\pi^{D/2}}{\Gamma(D/2)}$
A continuación, integrando con respecto al radio de $0$ à $1,$ demuestre que el volumen de la esfera unitaria en $D$ dimensiones viene dada por:
(3) $V_D=\frac{S_D}{D}$
He completado todas las pruebas pero estoy confuso sobre el significado de las mismas:
- ¿Qué significa la ecuación (1) y cómo convertirla de izquierda a derecha?
- Al requerir integrar la ecuación (1) en ambos lados para obtener el volumen, supongo que el lado izquierdo de (1) es el volumen, pero por qué el volumen no es $\pi^{D/2}$ ¿Entonces?
- ¿Puede alguien darme la pista de la idea aquí para resolver el problema de los volúmenes de $n$ -¿Bola por favor?
Muchas gracias de antemano.
