Explique la equivalencia conceptual entre dimensiones en Rn y variables en un sistema de ecuaciones lineales.

Question

Soy un noob en álgebra lineal, siguiendo esta serie:

https://www.youtube.com/watch?v=XfKap1GIPr8&lc=z221wx2ogl3ztvb4104t1aokgaggdriwon2lrl05z50vrk0h00410&elc=1

Me confunde enormemente la equivalencia que establecen entre vectores en $\mathbb R^n$ y polinomios. ¿Puede alguien indicarme los fallos de mi comprensión (explicados a continuación)?

Así que para $\mathbb R^n$ un vector $(1, 2, 3)$ tiene componentes en tres dimensiones diferentes (a lo largo de tres ejes diferentes), por lo que sumarlos es imposible, ¿verdad?

Y cuando expresamos un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial, digamos

$2x + 3y + 10z = 45$

tratamos las variables $x, y, z$ como $3$ dimensiones diferentes que no pueden sumarse directamente, al igual que las diferentes dimensiones ("ejes") del vector $(1, 2, 3)$ en $\mathbb R^n$ ¿verdad?

Según tengo entendido (corríjanme si me equivoco) $x, y, z$ corresponden de alguna manera a dimensiones DIFERENTES, al igual que $1, 2, 3$ tumbarse en tres diferente por lo que no se pueden sumar como si fueran $(1,2,3) = 1+2+3 = 6$ ni puedes hacer $x+y+z = 3x$ por ejemplo.

Pero en la serie que he estado viendo, veo que trata a los misma variable $x$ pero elevado a grado diferente como diferentes variables, exactamente igual que en el caso anterior. Así, para

$2x^3 + 3x^2 + 10x = 45$

haría una matriz con tres columnas, correspondientes a los $x^3, x^2,$ y $x$ exactamente como si hubiera sido

$2x + 3y + 10z = 45$

Pero esto parece totalmente mal para mí, porque $x^3$ y $x^2$ todos ¡venga de x!

Según tengo entendido, no se pueden sumar variables de distinta potencia en un forma lineal, y por eso se pueden encajar en la matriz de esta manera? es decir)

$2x^2 + 3x^2 = 5x^2$ está bien pero $2x^2 + 3x^3$ no pueden combinarse.

Pero me sigue pareciendo una exageración y es totalmente desconcertante desde el punto de vista conceptual. ¿Cómo se puede decir que la misma variable elevada a diferentes grados vive en diferentes dimensiones del mismo modo que los componentes de un vector en Rn? Por un lado, $x^2$ se puede calcular si se conoce x, pero un valor que vive en la dimensión $2$ de $\mathbb R^n$ , nunca calcularse con sólo conocer un valor en la dimensión 1 - tienen significados totalmente diferentes.

Si graficó $y = x$ y $y = x^2$ Los dos gráficos tendrían un aspecto diferente, pero seguirían teniendo la misma dimensión en el papel cuadriculado, ¿no? Uno no sería tridimensional ni sobresaldría del papel, ¿verdad? Entonces, ¿cómo dibujar esta equivalencia, que el vector de 3 dimensiones $(1,2,3)$ corresponde a $(x, x^2, x^3)?$

Answer 1

La dimensión de un espacio vectorial es simplemente el número de vectores linealmente independientes necesarios para abarcar ese espacio. Cuando se piensa en espacios vectoriales de polinomios, no se debe pensar en las gráficas de los polinomios en el $xy$ plano al intentar comprender la dimensión. Se trata de un concepto diferente.

Diferentes poderes de $x$ viven en "dimensiones diferentes", como tú dices en el sentido de que son linealmente independientes. Por ejemplo, tomemos el conjunto de vectores base $\{1,x,x^2\}$ para $P_2$ el espacio vectorial de los polinomios de grado inferior o igual a $2$ . Entonces, para $a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{R}$ tenemos que

$$ a_1\cdot 1 + a_2 x + a_3 x^2 = 0 $$

sólo si $a_1=a_2=a_3=0$ . En esencia, esto significa que estos vectores no pueden combinarse de forma no trivial para que se anulen. Esto es exactamente como, por ejemplo, los vectores de base estándar en $\mathbb{R}^3$ . Hemos cambiado los símbolos de $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ et $(0,0,1)$ à $1$ , $x$ et $x^2$ pero, aparte de esto, todo lo demás es igual. Creo que puede ser útil tener en cuenta para los ejemplos de polinomios que no estamos pensando en evaluar estos polinomios, por lo que no se está introduciendo nada para $x$ . En esta situación $x$ es literalmente sólo un símbolo. Puede añadirse a otro $x$ pero no puede añadirse a un $x^2$ por ejemplo, por cómo $\textit{define}$ adición en el espacio vectorial $P_2$ .

Answer 2

Un espacio vectorial $V$ de polinomios es no sobre un polinomio y cómo se calculan sus valores o cómo se representa gráficamente, sino sobre todos polinomios, digamos de grado $\leq3$ . Un elemento típico de $V$ es el polinomio $p(x):=3-2x+7x^2+4x^3$ y el elemento general de $V$ es $p(x):=a_0 +a_1 x+a_2x^2+a_3x^3$ donde los coeficientes $a_j$ son números reales dados o aún desconocidos. Como configure el espacio $V$ puede declararse como $$V=\bigl\{p(x):=a_0 +a_1 x+a_2x^2+a_3x^3\>\bigm|\>a_j\in{\mathbb R} \ (0\leq i\leq 3)\bigr\}\ .$$ Llamando a $V$ a espacio vectorial significa que dos elementos $p$ , $q\in V$ pueden sumarse como funciones polinómicas, y que la función suma $s$ es otro elemento de $V$ etcétera.

Ahora cualquier elemento $p\in V$ está determinada de forma única por su vector de coeficientes $(a_0,a_1,a_2,a_3)$ y las operaciones del espacio vectorial en $V$ se reflejan completamente en las operaciones correspondientes sobre estos vectores de coeficientes. Por lo tanto, podemos decir que los coeficientes $a_j$ de nuestros polinomios sirven como coordenadas en el espacio $V$ con respecto a la base $(e_j)_{0\leq i\leq 3}$ mediante $e_j(x):=x^j$ $\>(0\leq j\leq3)$ .