Fondo
Recordemos que un nudo es un círculo suavemente incrustado $S^1$ en $\mathbb R^3$ hasta cierta relación de equivalencia natural (que no es del todo trivial de escribir). La colección de nudos orientados tiene una operación binaria llamada suma conectada : si $K_1,K_2$ son nudos, entonces $K_1 \# K_2$ se forma separando espacialmente los nudos y uniéndolos después mediante un rectángulo muy fino, que se pega para que todas las orientaciones sean correctas. La suma de conexiones es conmutativa y asociativa, lo que convierte el espacio de los nudos en un monoide conmutativo. De hecho, por un teorema de Schubert es el monoide libre conmutativo sobre un número contable de generadores. A ( $\mathbb C$ -valorado) nudo invariante es un $\mathbb C$ -sobre este monoide; bajo multiplicación "puntual", el espacio de invariantes de nudo es un álgebra conmutativa $I$ et $\#$ hace $I$ en una bialgebra cocomutativa. Es decir $I$ es un objeto monoide conmutativo en $(\text{CAlg})^{\rm{op}}$ donde $\text{CAlg}$ es la categoría de las álgebras conmutativas.
Pregunta de calentamiento: Cualquier nudo $K$ define un morfismo de álgebra $I \to \mathbb C$ es decir, a punto mundial de $I \in (\text{CAlg})^{\rm{op}}$ . ¿Existen otros puntos globales?
Edita: En respuesta al comentario de Ilya N, he hecho lo siguiente en su propia pregunta .
Invariantes de tipo finito
Recordemos que a nudo singular es un mapa suave $S^1 \to \mathbb R^3$ con un número finito de auto-intersecciones transversales (y por lo demás es una incrustación), de nuevo hasta una equivalencia natural. Cualquier invariante de nudo se extiende a un invariante de nudos singulares, como sigue: en un nudo singular $K_0$ hay dos maneras de hacer estallar cualquier singularidad, y la orientación determina una como el estallido "derecho $K_+$ y el otro como el soplado "a la izquierda" $K_0$ . Evalúe su invariante de nudo $i$ en cada ampliación y, a continuación, definir $i(K_0) = i(K_+) - i(K_-)$ . Obsérvese que aunque la suma conectada de nudos singulares no está bien definida como nudo singular, si $i\in I$ es una invariante de nudo, entonces no puede distinguir diferentes conect-suma de nudos singulares. Obsérvese también que el producto de invariantes de nudo (es decir, el producto en el álgebra $I$ ) no es el producto punto a punto en nudos singulares.
A _Vassiliev (o tipo finito ) invariante de tipo $\leq n$_ es cualquier invariante de nudo que desaparece en nudos singulares con $> n$ auto-intersecciones. El espacio de todos los invariantes de Vassiliev es una bialgebra filtrada $V$ (filtrado por tipo). La correspondiente bialgebra graduada asociada $W$ (de "sistemas de pesos") ha sido bien estudiada (algunos nombres: Kontsevich, Bar-Natan, Vaintrob, y seguro que hay otros que aún no he leído) y de hecho se comprende más o menos completamente (por ejemplo, Hinich y Vaintrob, 2002, "Cyclic operads and algebra of chord diagrams", MR1913297 donde su dual graduado $A$ de "diagramas de cuerda" se describe como una especie de álgebra envolvente universal). De hecho, esta álgebra $W$ es Hopf. Aprendí de esta pregunta que esto implica que la bialgebra $V$ de los invariantes de Vassiliev también es Hopf. Por tanto, es una sub-biálgebra de Hopf del álgebra $I$ de invariantes de nudos.
Creo que es una cuestión abierta si las invariantes de Vassiliev separan los nudos (es decir, si dos nudos cuyas invariantes de Vassiliev coinciden son necesariamente iguales). Pero tal vez esto ya se haya respondido; me siento razonablemente al corriente del estado de los conocimientos a mediados o finales de los 90, pero no conozco la bibliografía de los años 00.
Geométricamente, entonces, $V \in (\text{CAlg})^{\rm{op}}$ es un objeto grupo conmutativo, y es un cociente (o algo así) del objeto monoide $I \in (\text{CAlg})^{\rm{op}}$ de invariantes de nudos. Los puntos globales de $V$ (es decir, los mapas algebraicos $V \to \mathbb C$ en $\text{CAlg}$ ) son un grupo.
Preguntas principales
Suponiendo que los invariantes de Vassiliev separan los nudos, deben existir puntos globales de $V$ que no corresponden a nudos, como por La estafa de Mazur no hay "nudos negativos" entre el monoide $I$ . De ahí mi pregunta.
Pregunta principal. ¿Cuáles son los puntos globales de $V$ ¿Qué aspecto tiene?
Si los invariantes de Vassiliev separan los nudos, ¿existen aún más puntos globales de $V$ que el grupo abeliano libre sobre un número contable de generadores (es decir, el grupo generado por el monoide libre de nudos)? Sí: los nudos singulares. ( Edita: La regla para ser un punto global es que se puede evaluar cualquier invariante de nudo en él, y que el valor del invariante dado por la multiplicación puntual sobre nudos es la multiplicación de los valores en el punto global. Sea $K_0$ sea un nudo singular con un cruce y con expansiones no singulares $K_+$ y $K_-$ y que $f,g$ sean dos invariantes de nudo. Entonces $$\begin{aligned} (f\cdot g)(K_0) & = (f\cdot g)(K_+) - (f\cdot g)(K_-) = f(K_+)\cdot g(K_+) - f(K_-)\cdot g(K_-) \neq \\\\ f(K_0) \cdot g(K_0) & = f(K_+)\cdot g(K_+) - f(K_+)\cdot g(K_-) - f(K_-)\cdot g(K_+) + f(K_-)\cdot g(K_-)\end{aligned}$$ .) ¿Qué más hay?
¿Qué se puede decir sin saber si las invariantes de Vassiliev separan los nudos?
