¿Puede la suma directa de un álgebra real incrustarse en sí misma?

Question

¿Existe un álgebra real $A$ que admite un inyectiva $A$ -homomorfismo de módulo $A^n\to A$ donde la imagen tiene co-dimensión $1$ (y $n$ es estrictamente mayor que $1$ )?

Pido $n>1$ en cuanto a $n=1$ el mapa $C^\infty(\Bbb R)\to C^\infty(\Bbb R)$ , $f\mapsto x\cdot f$ nos da un ejemplo en el que sí funciona.

Obviamente, esto no puede ocurrir con ninguna álgebra de dimensión finita. Con dimensión me refiero a la dimensión del álgebra como espacio vectorial real.

Se me plantea esta cuestión en un ejercicio, en el que me gustaría demostrar que el ideal de aquellas funciones que desaparecen en un submanifold no es localmente libre como un $C^\infty$ (en el caso de que el submanifold tenga co-dimensión $>1$ ). Esto da a la pregunta un ligero sabor a geometría diferencial.

Answer 1

Si tal módulo-homorfismo existe para cierto $n$ entonces $A$ tiene en particular un ideal isomorfo a $A^n$ .

Así que un contraejemplo, para todos $n$ simultáneamente, vendrá dada por un álgebra simple de dimensión infinita. Hay muchas de estas. No soy algebrista, así que no tengo a mano ejemplos quizá más fáciles. Pero cualquier álgebra de Banach unital simple es algebraicamente simple. En particular cualquier C $^*$ -álgebra (como $\mathcal O_2$ o $C_r^*(\mathbb F_2)$ o UHF $(2^\infty)$ entre muchos otros) son contraejemplos.