¿Qué nos dice el semiring de ideales de un anillo R sobre R?

Question

Esto es algo que me he preguntado desde que era estudiante. Dejemos que $R$ sea un anillo (conmutativo, digamos, aunque la generalización a anillos no conmutativos es obvia). Ideales de $R$ pueden multiplicarse y pueden sumarse (el ideal $I+J$ es el ideal generado por $I$ y $J$ ), y la multiplicación se distribuye sobre la suma. Por tanto, podemos considerar el semiring $S$ de ideales de $R$ . La cuestión es si la estructura de $S$ decirnos algo interesante sobre la estructura de $R$ ? ¿O viceversa?

El año pasado hice esta pregunta en sci.math.research y obtuve algunas respuestas, pero ninguna muy sustanciosa.

http://mathforum.org/kb/thread.jspa?messageID=6599151

Para una pregunta más concreta: Dé una condición suficiente interesante para $S$ sea finitamente generada. A la inversa, si $S$ está finitamente generada, ¿implica eso algo interesante sobre $R$ ?

Answer 1

Esto también es bastante sencillo, pero allá va. Tomo R para ser conmutativa y tienen 1.

Si S está generado por un solo ideal P, entonces todos los ideales de R son de la forma P^k. Por tanto, R es local. Si P^2 no es todo P entonces cualquier p en P \P ^2 genera P, y cada P^k es generado por p^k. Por tanto, el único ideal primo es P, y es exactamente el ideal de nilpotentes (ya que éstos son la intersección de todos los ideales primos). Se deduce que algún P^k = 0.

Si P^2 es todo P entonces de nuevo sólo hay un ideal primo P, pero ahora P = P^k = 0, por lo que R es un campo.

Por tanto, o bien R es un campo, o bien hay un p nilpotente en R, de modo que todos los x en R son de la forma u*p^k para alguna unidad u y un entero no negativo k. (Basta con considerar el mayor k para el que x es múltiplo de p^k). ) A veces, pero no siempre (véase más adelante), podemos identificar R con un cociente del álgebra de polinomios (R/P)[X] (nótese que R/P es un campo), a saber (R/P)[X]/(X^k) donde k es el menor s.t. P^k = 0.

A la inversa, cualquier cociente F[X]/(X^k), F un campo, tiene su semiring de ideales generado por (X).