En mi pregunta, puse un enlace a un archivo de sci.math.research que ya no existe, así que vuelvo a publicar (la mayor parte) de ese contenido aquí.
Phil escribió:
¿Cuál es la terminación de Grothendieck de este semiring? Eso podría ser algo interesante.
Olivier escribió:
$I+J$ está vinculado con gcd-estas bestias no tienen una buena estructura, pero, sin duda, hay que investigar un poco. Uno suele ver la red ordenada con $I \subset J$ y $I+J$ y $I \cap J$ . Parece se comporta bien con respecto a la multiplicación, por lo que uno debe ser capaz de capaz de demostrar algo parecido a "esta red es una red de productos sobre todos los ideales primos". Este resultado en sí mismo no sería muy sexy. Sin embargo, cuando falla probablemente sería más atractivo. La distinción entre ideal maximal y primo es de gran incidencia en la teoría de anillos, y es evidente que tal distinción tendrá repercusiones en el "resultado" central que he mencionado.
Pete Clark escribió:
Casualmente un estudiante me hizo la misma pregunta hace un mes hace un mes. Al principio parecía prometedor, hasta que nos dimos cuenta de que para todas las ideales $I$ , $I + I = I$ . Por lo tanto $I = 0$ en la terminación del anillo, es decir la terminación es el anillo cero.
Respondí:
Buena observación. Sin embargo, aún no estoy listo para rendirme. Hay parece haber alguna estructura interesante. Por ejemplo, en los enteros la multiplicación es multiplicación, y la suma es gcd. Creo que el "sembrado ideal" de cualquier dominio Dedekind es isomorfo al de los enteros. En general, sin embargo, uno obtiene algo más-no estoy seguro de de qué.
La experiencia con semirings tropicales sugiere que simplemente tratando de completar un semiring a un anillo no siempre es una buena idea. Sin embargo, no sé qué herramientas son apropiadas aquí.
Pete Clark señaló que mi afirmación sobre los dominios Dedekind era errónea:
No, eso no está bien. Por ejemplo, si $R$ es el polinomio univariante sobre los números complejos, entonces su sembrado ideal es incontable.
¿Quizá lo que quería decir es lo siguiente? El sembrado ideal de cualquier dominio Dedekind $R$ es isomorfo a la suma directa de copias del semiring $(\mathbb{N} \cup \{\infty\},\min,+)$ donde $\mathbb{N}$ es los números naturales (enteros positivos más 0), la ley de adición viene dada por el mínimo, y la ley de multiplicación viene dada por la suma. La suma directa se extiende sobre todos los ideales primos no nulos de $R$ . (Y sí, esto es fuertemente reminsicente de la geometría tropical .)
De acuerdo en que para un dominio no-Dedekind la estructura será mucho diferente. Como ya ha señalado otra persona, tiene un aspecto teórico enrejado. pero no sé qué se ha hecho en este sentido. dirección.
Escribí:
Le hice esta pregunta a un amigo mío y uno de sus primeros instintos fue preguntar, ¿cuándo se genera finitamente este sembrado?
La respuesta podría ser "no muy a menudo", ya que ni siquiera los números enteros dan un ejemplo, pero si hay algunos ejemplos no triviales, éstos podrían ser los más más fáciles de analizar.
Dave Cullen escribió (espero estar interpretando su $*$ correctamente; originalmente escribió J* y A*B y A*X ):
Bueno, una cosa que noto de esta conversación es que el conjunto de ideales de un anillo con suma y multiplicación ideal sí forma un dioide completo (idempotente); en particular, la operación $*$ dado como $$J^* = \sum_{i\in \mathbb{N}} J^i$$ está bien definida para un ideal $J$ . Tales estructuras tienen un parcial " $\le$ "dado por $$J \le K \iff J + K = K.$$ Algunos resultados preliminares son que para ideales fijos $A$ y $B$ , la ecuación afín $X = AX + B$ tiene un mínimo (con respecto a $\le$ ) solución $A^*B$ y cualquier solución $X$ satisface $X = A^*X$ .
Parece que estos dioides están bien estudiados en otros contextos, pero yo nunca he visto nada (al menos en la literatura de Internet) sobre los dioides de ideales. También hay algo llamado dioide de coste que es bien estudiado, de nuevo por razones totalmente ajenas a los conjuntos de ideales, que requiere la condición adicional de la existencia de raíces de elementos. Aunque esta condición falla para los ideales generales puede ser cierta para algunos anillos, o para algunos subconjuntos de la colección de ideales de un anillo. Quizá podamos robar algo de esta teoría de dioides y aplicarla al contexto de los ideales? Se aceptan comentarios.
