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Ajuste de triángulos a un plano

Dado un triángulo con tres ángulos de vértice , y , y con escala, rotación, reflexión y traslación ilimitadas, ¿puedes siempre ajustar el triángulo a un plano de modo que los 3 vértices caigan en coordenadas enteras?

Llevo un buen rato rascándome la cabeza con esto. Si esto se puede refutar, ¿podemos encajar estos triángulos en coordenadas de dimensión superior de manera similar (transformación ilimitada dado vértice ángulos siguen siendo los mismos, todas las coordenadas son números enteros)

3voto

Botnakov N. Puntos 26

Consideremos el triángulo de lados $3, 3, \pi$ . Después de escalar sus lados son $3x, 3x, \pi x$ . En algún sistema de coordenadas los 3 vértices caen en coordenadas enteras, por lo tanto por el teorema de Pitágoras sus cuadrados son sumas de cuadrados de enteros. Por lo tanto $(3x)^2 \in \mathbb{Z}$ y $(3 \pi x)^2 \in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto $\frac{(3\pi x)^2}{(3x)^2} \in \mathbb{Q}$ y $\pi^2$ es racional. Por lo tanto $\pi$ es un número algebraico. Tenemos una contradicción.

Esta solución funciona no sólo en $\mathbb{R}^2$ pero en $\mathbb{R}^d$ también.

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