¿Por qué utilizamos la convención menos sencilla para definir la conexión de un haz vectorial?

Question

Para un haz vectorial (liso) $F$ sobre un múltiple $M$ normalmente se define una conexión como un mapa lineal $$\nabla:\Gamma^{\infty}(V) \to \Omega^1(M) \otimes \Gamma^{\infty}(V),$$ satisfaciendo $\nabla(fv) =$ d $f \otimes v + f \nabla(v)$ . Esto se puede extender a un mapa $$\nabla:\Omega^k(M) \otimes_{C^{\infty}(M)} \Gamma^{\infty}(V) \to \Omega^{k+1}(M) \otimes_{C^{\infty}(M)} \Gamma^{\infty}(V)$$ definiendo $$\nabla(\omega \otimes v) = \text{d}\omega \otimes v + (-1)^k\omega \wedge \nabla(v).$$ El factor de $(-1)^k$ garantiza que la definición está bien definida sobre el producto tensorial.

Alternativamente, se puede utilizar la definición equivalente de una conexión como un mapa lineal $$\nabla:\Gamma^{\infty}(V) \to \Gamma^{\infty}(V) \otimes \Omega^1(M),$$ satisfaciendo $\nabla(vf) = v \otimes$ d $f + \nabla(v)f$ . Sin embargo, esto tiene la extensión más simple a un mapa $$\nabla:\Gamma^{\infty}(V) \otimes_{C^{\infty}(M)} \Omega^k(M) \to \Gamma^{\infty}(V) \otimes_{C^{\infty}(M)}\Omega^{k+1}(M)$$ definido por $$\nabla(v \otimes \omega) = v \otimes \text{d}\omega + \nabla(v) \wedge \omega.$$ Es decir, no hay $(-1)^k$ factor. Mi pregunta es ¿por qué esta formulación más sencilla no es la que se utiliza normalmente?

Answer 1

La definición "habitual" equivale a decir que $[\nabla, \omega ]=d\omega$ donde $[,]$ es el conmutador (graduado) de endomorfismos (graduados).