¿Cómo mostrar débil*-cerrado en la bola unidad?

Question

Tengo un álgebra unital C* $\mathcal A$ y un subconjunto $K \subseteq B_1^* \subseteq \mathcal A^*$ de la bola unitaria en el espacio dual. Quiero demostrar que K es compacto para aplicar el Teorema de Krein-Milman, que requiere $K$ que así sea.

Tengo dos preguntas:

1) ¿Tiene sentido aquí "compacto" en cualquier otra topología que no sea la topología débil*?

2) Si no, pensé en utilizar el teorema de Banach-Alaoglu, por el que bastaría con demostrar que $K$ es débil*-cerrado en $B_1^*$ . ¿Cómo se muestra técnicamente débil*-cerrado?

EDITAR : Para ser específicos, $K:= \{\omega \text{ positive}, \vert\vert \omega \vert\vert_{\mathcal A^*}=1, \omega(A^*A)=\vert\vert A \vert\vert^2\}$

Answer 1

Como explica Ben Passer, esperamos $K$ para ser débil*-compacto. Pero creo que debe tenerse en cuenta que $K$ está vacío cuando $\dim A\geq 2$ . Y cuando $A=\mathbb{C}$ , $K$ es un singleton formado por el estado $\omega(\lambda)=\lambda$ .

En efecto, si $\omega\in K$ entonces para cada $h$ autoadjunto positivo, tenemos $h=k^*k$ de donde $$ \omega(h)=\omega(k^*k)=\|k\|^2=\|k^*k\|=\|h\|. $$ Ahora, por cada $h$ positivo autoadjunto con $\|h\|=1$ tenemos $1-h$ autoadjunto positivo de donde $$ \|1-h\|=\omega(1-h)=\omega(1)-\omega(h)=1-\|h\|=0\quad\Rightarrow \quad h=1 $$ donde utilizamos la propiedad clave de los funcionales lineales positivos sobre unital $C^*$ -que $\omega(1)=\|\omega\|$ . Así que $\omega(1)=1$ cuando $\|\omega\|=1$ .

Se deduce que para cada elemento positivo autoadjunto, $h=\|h\|1$ es decir, escalar. Entonces, para cada $k$ , $h=\|k\|1-k$ es autoadjunto positivo, por lo que $h$ y, por lo tanto $k$ es escalar. Por último, cada elemento $a\in A$ es una combinación lineal de elementos autoadjuntos por $$ a=\frac{a+a^*}{2}+i\frac{a-a^*}{2i}=k_1+ik_2\quad k_j^*=k_j $$ así que $a$ es escalar. Es decir $A=\mathbb{C}1$ es unidimensional.

Ahora, cuando $A=\mathbb{C}$ se deduce de la hipótesis $\omega(t)=t$ para cada $t\geq 0$ por lo que para cada $t\in\mathbb{R}$ y, por último $\mathbb{C}$ por linealidad.

Answer 2

La primera topología a comprobar sería la topología débil-*, ya que la bola unitaria es compacta débil-*. Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar $K$ es débil-* cerrado en $B_1(\mathcal{A}^*)$ y se puede aplicar el teorema de Krein-Milman en el espacio vectorial topológico localmente convexo $(\mathcal{A}^*, \textrm{weak-*})$ . En este ejemplo (y sin duda en muchos más), lo más fácil es mostrarlo directamente con una red.

Sea $K = \{\omega \in \mathcal{A}^*: \omega \textrm{ is positive },||\omega|| = 1, \omega(A^*A) = ||A||^2 \textrm{ for all } A \in \mathcal{A} \}$ y supongamos $\langle \omega_\alpha \rangle_{\alpha \in \mathcal{B}}$ es una red en $K$ convergiendo hacia algún $\omega \in B_1(\mathcal{A}^*)$ . Entonces, por definición $\omega_\alpha$ converge a $\omega$ puntualmente, por lo que $\omega(A^*A) = \lim \omega_\alpha(A^*A) = \lim ||A||^2 = ||A||^2$ .

Desde $\omega(A^*A) = ||A||^2 = ||A^*A||$ sabemos $||\omega||$ no puede ser inferior a 1, por lo que $||\omega|| = 1$ . En general no esperaríamos que la condición $||\omega|| = 1$ como, por ejemplo, toda secuencia ortonormal en un espacio de Hilbert tiende débilmente a cero.

Por fin, $\omega$ es positivo, ya que todo elemento positivo puede escribirse como $A^*A$ y $\omega(A^*A) = ||A||^2 \geq 0$ . Aunque no lo supiéramos, la positividad es una propiedad de las redes convergentes débiles* que se conserva bajo un límite.