Sea $(R,m)$ sea un anillo local artiniano con $m^2=0$ . Sea $M$ sea una $R$ módulo. ¿Podemos decir algo sobre la estructura de $M$ ? Quizá dar una estructura completa sea muy difícil, pero ¿podemos decir algo "bonito"?
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Jeff
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Más en general $R$ sea un anillo conmutativo noetheriano con un ideal maximal $\mathfrak{m}$ satisfaciendo $\mathfrak{m}^2=0$ . Entonces cada $R$ -módulo $M$ encaja en una secuencia exacta canónica de finitos generados $R$ -módulos $$0 \to \mathfrak{m} M \to M \to M/\mathfrak{m} M \to 0.$$ Desde $\mathfrak{m} M$ y $M/\mathfrak{m} M$ son asesinados por $\mathfrak{m}$ (aquí utilizamos $\mathfrak{m}^2=0$ ), corresponden a $R/\mathfrak{m}$ -módulos. Por lo tanto, hay números naturales únicos $r,s \in \mathbb{N}$ tal que $\mathfrak{m} M \cong (R/\mathfrak{m})^s$ y $M/\mathfrak{m} M \cong (R/\mathfrak{m})^r$ . Así, $M$ está determinada por estos dos números naturales y la clase de extensión $$[M] \in \mathrm{Ext}^1_R((R/\mathfrak{m})^r,(R/\mathfrak{m})^s).$$ Así que tenemos que determinar $\mathrm{Ext}^1_R((R/\mathfrak{m})^r,(R/\mathfrak{m})^s)$ . En principio, porque $\mathrm{Ext}$ es aditiva en ambas variables, podemos restringir a $r=s=1$ aquí, pero más adelante me gustaría describir las extensiones explícitamente para general $r,s$ . Y no es nada difícil hacer el caso general de inmediato.
La secuencia exacta larga asociada a la secuencia exacta corta $0 \to \mathfrak{m}^r \to R^r \to (R/\mathfrak{m})^r \to 0$ comienza con: $$0 \to \hom_R((R/\mathfrak{m})^r,(R/\mathfrak{m})^s) \to \hom_R(R^r,(R/\mathfrak{m})^s) \to \hom_R(\mathfrak{m}^r,(R/\mathfrak{m})^s) \to \mathrm{Ext}^1_R((R/\mathfrak{m})^r,(R/\mathfrak{m})^s) \to \mathrm{Ext}^1_R(R^r,(R/\mathfrak{m})^s)$$ Desde $\mathrm{Ext}^1_R(R^r,(R/\mathfrak{m})^s)=0$ y $\hom_R((R/\mathfrak{m})^r,(R/\mathfrak{m})^s) \to \hom_R(R^r,(R/\mathfrak{m})^s)$ es un isomorfismo, la secuencia se simplifica a $$\mathrm{Ext}^1_R((R/\mathfrak{m})^r,(R/\mathfrak{m})^s) \cong \hom_R(\mathfrak{m}^r,(R/\mathfrak{m})^s).$$ Dado un homomorfismo $\delta : \mathfrak{m}^r \to (R/\mathfrak{m})^s$ la extensión correspondiente $$0 \to (R/\mathfrak{m})^s \to E_\delta \to (R/\mathfrak{m})^r \to 0$$ se construye como sigue (véase Weibel's Introducción al álgebra homológica prueba de Thm 3.4.3): Elegimos un pushout $$\begin{array}{c} \mathfrak{m}^r & \xrightarrow{\subseteq} & R^r \\ \delta \downarrow ~~&& \downarrow \\ (R/\mathfrak{m})^s & \rightarrow & E_\delta. \end{array}$$ Explícitamente, tenemos $$E_\delta = (R^r \oplus (R/\mathfrak{m})^s) / \{(x,-\delta(x)) : x \in \mathfrak{m}^r\}.$$ El homomorfismo $E_\delta \to (R/\mathfrak{m})^r$ es inducida por $0 : (R/\mathfrak{m})^s \to (R/\mathfrak{m})^r$ y la proyección $R^r \twoheadrightarrow (R/\mathfrak{m})^r$ .
Por lo tanto, cada $R$ -es isomorfo a $E_\delta$ para números naturales únicos $r,s$ y un homomorfismo único $\delta : \mathfrak{m}^r \to (R/\mathfrak{m})^s$ . Con esto termina la clasificación.
rschwieb
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Un caso es muy bonito y el otro no tanto.
En $m$ es principal:
Puede demostrar que de hecho $R$ tiene exactamente tres ideales $\{R,m,\{0\}\}$ por lo que es un Anillo uniseriado artiniano (también conocido como anillo ideal principal, local artiniano o " anillo principal especial "). Se sabe que cada sobre un anillo uniseriado artiniano es una suma directa de submódulos cíclicos. Eso está muy bien, en mi opinión.
En $m$ no es principal:
Por lo menos tienes que (para finitamente generado $M$ ) $M$ tiene una longitud de composición finita (y por lo tanto es artiniana y noetheriana) y, que el zócalo $\operatorname{Soc}(M)$ es esencial en $M$ . Así $M$ tiene que ser un submódulo $\operatorname{Soc}(M)\subseteq M\subseteq E(\operatorname{Soc}(M))$ donde $E(-)$ denota el casco inyectivo.
¿Qué significa el carácter local de $R$ ¿Comprarnos? Dos cosas: una es que hay exactamente un isotipo de simple $R$ a saber $R/m=S$ . En segundo lugar, puesto que $R$ es Artiniano, $R/m$ incrusta en $R$ como $R$ por lo que en realidad es una copia de un ideal de $R$ . Esto significa que $\operatorname{Soc}(M)\cong \oplus_{i=1}^nS$ y, en consecuencia $M\subseteq E(\operatorname{Soc}(M))\cong\oplus_{i=1}^nE(S)$ .
Desde $E(S)$ es a indecomponible, podemos decir que $M$ es un submódulo esencial de una suma directa finita de copias de un módulo inyectivo indecomponible.
