Mostrar este subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$ es convexa.

Question

Me dan un subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$ definida por las desigualdades siguientes:

$|x_{1}|+...+|x_{r}|+2(\sqrt{x^{2}_{r+1}+x^{2}_{r+2}}+...\sqrt{x^{2}_{n-1}+x^{2}_{n}})\leq n$ .

Necesito demostrar que esto es convexo. Me dan la pista para demostrar que el conjunto es cerrado bajo la toma de puntos medios a continuación, utilizar la desigualdad $\sqrt{(a+b)^{2}+(c+d)^{2}}\leq \sqrt{a^{2}+c^{2}} + \sqrt{b^{2}+d^{2}}$ .

Para demostrar que es cerrado bajo puntos medios simplemente demostraría para dos elementos en este conjunto $C$ tenemos $\frac{a+b}{2}\leq n$ ?

Cualquier cosa que me ayude a empezar será muy apreciada.

Answer 1

Sea $$f(x_1,\dots x_n)=|x_{1}|+...+|x_{r}|+2\left(\sqrt{x^{2}_{r+1}+x^{2}_{r+2}}+...\sqrt{x^{2}_{n-1}+x^{2}_{n}}\right).$$ Es la suma de dos funciones convexas: $$f_1(x_1,\dots x_n)=|x_{1}|+...+|x_{r}|$$ y $$f_2(x_1,\dots x_n)=2\left(\sqrt{x^{2}_{r+1}+x^{2}_{r+2}}+...\sqrt{x^{2}_{n-1}+x^{2}_{n}}\right).$$ Para comprobarlo, puedes examinar las matrices hessianas.

Si $g$ es una función convexa, entonces para cualquier $a\in\Bbb R$ el conjunto de subniveles $\{x:g(x)\le a\}$ es convexa. En efecto, si $g(x)\le a$ y $g(y)\le a$ entonces para $t\in[0,1]$ tenemos $$g\bigl(tx+(1-t)y\bigr)\le tg(x)+(1-t)g(y)\le ta+(1-t)a=a.$$