función continua de aproximación sobre $[0,1]$ por polinomios monótonos crecientes

Question

Sea $f\in C[0,1]$ ser de valor real. Demostrar que existe una secuencia monótona creciente de polinomios $\{p_n(x)\}^\infty_{n=1}$ que convergen uniformemente en $[0,1]$ a $f(x)$ .

Sí, debería hacerse por el teorema de Stone-Weierstrass, ahí obtendré simplemente una secuencia de polinomios que converge a $f$ . ¿Hay alguna forma de definir este polinomio para hacer polinomios monótonos crecientes?

gracias por su ayuda

Answer 1

Esto es sólo un tecnicismo, el resultado esencial es que los polinomios son densos en $C[0,1]$ .

Tomemos cualquier secuencia estrictamente decreciente $\alpha_n \downarrow 0$ que converge a cero.

Sea $\beta_n ={1 \over 2} (\alpha_n+\alpha_{n-1})$ , $\delta_n = {1 \over 2} (\alpha_{n-1}-\alpha_n)$ . Nota $\beta_n>0, \delta_n>0$ y $\beta_n \to 0$ , $\delta_n \to 0$ y $\beta_n+\delta_n=\alpha_{n-1}$ , $\beta_n-\delta_n = \alpha_n$

Elija $p_n$ sea un polinomio tal que $\|p_n-(f-\beta_n)\| < \delta_n$ . En particular, tenemos $f(t)-\alpha_{n-1} < p_n(t) < f(t) - \alpha_n$ para todos $t \in [0,1]$ .

Se deduce que para cualquier $t$ que $p_{n+1}(t) > p_n(t)$ y puesto que $\|p_n-f\| \le \|p_n-(f-\beta_n)\| + \beta_n$ vemos que $p_n \to f$ .