Cómo demostrarlo: para algunos $c>0,x>2 , c,x\in \mathbb R , \, \int_2^x \frac{\mathrm dt}{\log t}-\frac{x}{\log x} \leq \frac{cx}{(\log x)^2}$

Question

Cómo demostrarlo: para algún $c>0,x>2 , c,x\in \mathbb R$

$$ \int_2^x \frac{\mathrm dt}{\log t}-\frac{x}{\log x} \leq \frac{cx}{(\log x)^2}$$

He probado con mi libro de texto, apuntes y también he intentado encontrar algo parecido en internet, si alguien me puede ayudar por favor.

Answer 1

Pista: Integrar por partes. Sea $u=\dfrac{1}{\log t}$ y que $dv=dt$ . Entonces $du=-\dfrac{1}{t\log^2 t}$ y podemos tomar $v=t$ . Cuando pasemos por el proceso, habrá un plazo principal de $\dfrac{x}{\log x}$ y un par de términos más (uno de ellos una integral) que no son difíciles de acotar.

Observación: El "truco" de integración por partes que hemos utilizado es, de hecho, un método estándar y útil para producir estimaciones de integrales.