Asintótica estimación de Riemann-Lebesgue Lema

Question

Deje $f$ ser un valor real, $L^1$ función integrable en el intervalo de $[a,b]$. A continuación, la de Riemann-Lebesgue Lema nos dice que: $$\int_a^bf(x)\sin(2\pi nx)dx\rightarrow0 \text{ as } n\rightarrow\infty.$$

¿Esto tiene alguna estimación asintótica que se le atribuye? es decir, para suficientemente bonita $f$ (dicen continuamente diferenciable), tenemos la estimación de que, a decir: $$\int_a^bf(x)\sin(2\pi nx)dx= O(1/n)$$ o algo similar?

Cualquier tipo de referencia, también se aprecia!

Answer 1

Para mayor comodidad, permite trabajar en el intervalo de $[-\pi,\pi]$. Riemann Lesbegue dice que los coeficientes de Fourier de $f$ ir a cero de una función integrable. Si $f$ $C^1(\mathbb{T})$ entonces tenemos que $\hat{f'}(n)=in\hat{f}(n)$. (Aquí se $\mathbb{T}$ se refiere a $[-\pi,\pi]$ con los criterios de valoración identificados.) Desde $f'$ es continua será integrable, por lo que Riemann Lesbegue implica que los coeficientes se $o(1)$. En consecuencia, los coeficientes de $f$$o\left(\frac{1}{n}\right)$, y, por tanto, $$\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx=o\left(\frac{1}{n}\right).$$

Para una función de $f\in C^k(\mathbb{T})$ tenemos

$$\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx=o\left(\frac{1}{n^k}\right).$$

Lo que si $f\in C^1[-\pi,\pi]$, pero $f(-\pi)\neq f(\pi)$?

Dado que los coeficientes de la Función diente de sierra tiene el fin de $\frac{1}{n}$, no vamos a tener un resultado tan fuerte como antes. (La función diente de sierra es $C^{\infty}[-\pi,\pi]$).

Podemos demostrar que si $f\in C^1[-\pi,\pi]$, pero $f(-\pi)\neq f(\pi)$, entonces los coeficientes de fourier será de orden $\frac{1}{n}$.