La restricción de una variable en una función Sobolev es a.e. Sobolev

Question

Sea $I,J$ sean intervalos abiertos acotados en $\mathbb{R}$ .

Cómo demostrar que $W^{1,1}(I\times J)$ está incrustado en el espacio de Bochner $L^1(I, W^{1,1}(J))$ ?

¿Existe alguna referencia estándar en la que se trate este tema?

Hay un mapa natural en $W^{1,1}(I\times J)$ que toma $x$ a $f_x=f(x,\cdot)$ que es una función sobre $J$ .

Intenté demostrar que la derivada débil $\frac{\partial f_x}{\partial y}(y)$ existe y es igual a la derivada débil dada $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ pero fracasó. Entiendo que esto está relacionado con el teorema de Fubini-Tonelli de alguna manera, pero no estoy seguro de los detalles.

Mostrar $\frac{\partial f_x}{\partial y}(y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ equivale a establecer la siguiente igualdad,

$$\int_J f(x,y) \phi'(y)dy=\int_J f_x \phi'(y)dy=-\int_J \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \phi(y)dy$$

se cumple para a.e. $x \in I$ .

Me gustaría ver un argumento detallado o una referencia.

Answer 1

¿Qué opina al respecto? Probablemente estoy pasando algo por alto.

Sea $t \in I, x \in J$ . Si $f \in W^{1,1}(I \times J)$ entonces $f,\partial_t f,\partial_x f \in L^1(I \times J)$ . Por lo tanto

$$\begin{aligned} \|f\|_{L^1(I,W^{1,1}(J))}=\int_I \|f_x(t)\|_{W^{1,1}(J)} dt &= \int_I \big( \|f_x(t)\|_{L^1(J)} + \|\partial_x f_x(t)\|_{L^1(J)} \big)dt \\ &=\int_I \int_J f(t,x)+\partial_x f(t,x) dtdx \\ &= \|f\|_{L^1(I \times J)} + \|\partial_x f \|_{L^1(I \times J)}. \end{aligned}$$

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EDIT: Vale, lo entiendo. Deja $[f_x(t)](x)=f(t,x)$ . Sabemos que $\partial_x f \in L^1(I \times J)$ que se define por

$$\int_{I \times J} \partial_x f(t,x) \phi(t,x) \ dtdx = - \int_{I \times J} f(t,x) \partial_x \phi(t,x) \ dtdx$$

para todos $\phi \in C_c^\infty(I \times J).$ O lo que es lo mismo

$$\int_{I \times J} \partial_x [f_x(t)](x) \phi(t,x) \ dtdx = - \int_{I \times J} [f_x(t)](x) \partial_x \phi(t,x) \ dtdx$$

para todos $\phi \in C_c^\infty(I \times J)$ . Ahora usamos que $C_c^\infty(I) \otimes C_c^\infty(J)$ es denso en $C_c^\infty(I \times J)$ . Por lo tanto, lo reescribimos como

$$\int_{I} \left[ \int_J \partial_x [f_x(t)](x) \varphi(x) \ dx \right] \eta(t) dt = - \int_I \left[ \int_J [f_x(t)](x) \partial_x \varphi(x) \ dx \right] \eta(t) dt$$

para todos $\varphi \in C_c^\infty(J)$ , $\eta \in C_c^\infty(I)$ . Por el lema fundamental del cálculo de variaciones

$$\int_J \partial_x [f_x(t)](x) \varphi(x) \ dx = - \int_J [f_x(t)](x) \partial_x \varphi(x) \ dx$$

para todos $\varphi \in C_c^\infty(J)$ y casi todos los $t \in I$ . Por lo tanto $f_x(t) \in W^{1,1}(J)$ para a.e. $t \in I$ con la derivada temporal débil $\partial_x f_x(t) \in L^1(J)$ .