En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ dejemos que las diagonales $AC$ y $BD$ se cruzan en $X$ . Sean las circunferencias de los triángulos $AXD$ y $BXC$ se cruzan de nuevo en $Y$ . Si $X$ es el incentro del triángulo $ABY$ demuestre que $CAD = 90^{\circ}$ .
Respuesta
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Primero demostramos que el punto $Y$ se encuentra en los bordes $CD$ . Mira el cuadrilátero $XCYD$ . Demostraremos que $\angle \, CYD = 180^{\circ}$ .
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$\angle\, XDY = \angle \, XAY = \alpha$ como inscrito en un círculo.
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$\angle \, BAC = \angle \, BAX = \angle \, XAY = \alpha$ desde $AC$ pasa por el incentro $X$ del triángulo $ABY$ y por lo tanto $AC$ es la bisectriz interior del ángulo $\angle \, BAY$ .
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$\angle \, XDC = \angle \, BDC = \angle \, BAC = \alpha$ como inscrito en un círculo.
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Por lo tanto $\angle \, XDC = \angle \, XDY = \alpha$ .
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Análogamente, $\angle \, XCD = \angle \, XCY = \beta$ .
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En triángulo $CDX$ ángulos suman $180^{\circ}$ así que $$180^{\circ} = \angle \, CXD + \angle \, XCD + \angle \, XDC = \angle \, CXD + \alpha + \beta$$ y así $\angle \, CXD = 180^{\circ} - \alpha - \beta$ .
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En cuadrilátero $XCDY$ ángulos suman $360^{\circ}$ así que $$360^{\circ} = \angle \, CXD + \angle \, XCY + \angle \, XDY + \angle \, CYD = \angle \, CXD + \alpha + \beta + \angle \, CYD = $$ $$= 180^{\circ} + \angle \, CYD $$ por lo tanto $\angle \, CYD = 180^{\circ}$ y así $Y$ mentiras sobre $CD$ .
Ahora, estamos listos para demostrar que $\angle \, CAD = 90^{\circ}$ .
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$\angle \, AXD = \angle \, BXC$ desde $X$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$ .
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$\angle \, AYD = \angle \, AXD$ y $\angle \, BYC = \angle \, BXC$ inscritas en los círculos correspondientes. Por lo tanto $\angle \, AYD = \angle \, BYC$
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$\angle \, XYA = \angle \, XYB$ desde $YX$ es el ángulo bisectriz de $\angle \, AYC$ . Por lo tanto $$\angle \, XYD = \angle \, XYA + \angle \, AYD = \angle \, XYB + \angle \, BYC = \angle \, XYC$$
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Pero $180^{\circ} = \angle \, XYD + \angle \, XYC = 2 \, \angle \, XYD $ así que $\angle \, XYD = 90^{\circ}$ .
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Como cuadrilátero $AXYD$ está inscrito en un círculo, $180^{\circ} = \angle \, XAD + \angle \, XYD = \angle \, XAD + 90^{\circ}$ así que $\angle \, XAD = 90^{\circ}$ .
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$X \in AC$ así que $\angle \, CAD = \angle \, XAD = 90^{\circ}$ .
