$P(\{ \lim_{n \to \infty} X_n \text{ exists}\})=0$ para una secuencia i.i.d. tal que $P(\{ X_1=t\})<1$ $\forall t \in \mathbb{R}$

Question

Supongamos que $\{ X_n\}_{n\geq 1}$ es una secuencia i.i.d tal que $P(\{ X_1=t\})<1$ para todos $t \in \mathbb{R}$ . Quiero demostrar que $$P(\{ \lim_{n \to \infty} X_n \text{ exists}\})=0.$$

He intentado demostrarlo por contradicción. Supongamos que $P(\{ \lim_{n \to \infty} X_n \text{ exists}\})>0$ . Entonces existe un $\omega$ para lo cual $\lim_{n \to \infty} X_n(\omega)$ no existe. Por lo tanto, la secuencia $X_n(\omega)$ oscila, por lo que existe $t_1, t_2 \in \mathbb{R}$ tal que $X_n(\omega)\in \{t_1, t_2\}$ infinitamente a menudo. Entonces

$$P(\{\omega: X_n(\omega) \in \{t_1, t_2\} \, \text{ i.o.} \})$$ $$=P(\{ \omega: \exists \text{ subsequences } X_{n_j}(\omega)=t_1 \text{ and } X_{n_i}(\omega)=t_2 \, \text{ i.o.}\})$$ $$=P(\{\omega: X_{n_j}(\omega)=t_1 \, \text{ i.o.} \}) P(\{\omega: X_{n_i}(\omega)=t_2 \, \text{ i.o.} \})<1,$$ donde la última igualdad se deduce del hecho de que $X_1, X_2, \ldots$ son independientes.

Estoy atascado aquí y no estoy seguro de si lo que he hecho es correcto. Cualquier ayuda es realmente apreciada. Thank you.

Answer 1

pista No se puede decir que hay $t_1,t_2$ tal que $X_i \in \{t_1,t_2\}$ infinitamente a menudo. Ni siquiera sabes si hay átomos en la distribución... puede darse el caso de que la probabilidad $X_i$ nunca toma ningún valor en particular es cero.

Pero si puedes demostrar que hay $t_1<t_2$ tal que casi con toda seguridad, $X_i\ge t_2$ infinitamente a menudo y $X_i \le t_1$ infinitamente a menudo, lo tendrás.

De hecho, basta con demostrar que $P(X_i\ge t_2)$ y $P(X_i \le t_1)$ son mayores que cero, pero por supuesto hay que demostrarlo (naturalmente, esto implica Borel-Cantelli).

Answer 2

De la condición de $P(X = t) < 1$ para todos $t \in \mathbb{R}$ tenemos $$P(X \ne t ) > 0 \qquad \forall t \in \mathbb{R}$$ Así $X$ no es determinista, (constante). Por lo tanto, existe $t_0 \in \mathbb{R}$ y $\epsilon > 0$ tal que $$P(X > t_0 + \epsilon) > 0, \quad \text{and} \quad P(X < t_0 - \epsilon) > 0$$ Esto se debe a que si $X$ fuera una constante, para cualquier $t \in \mathbb{R}$ y para cualquier $\epsilon > 0$ $$P(X > t + \epsilon) = 0 \quad \text{or} \quad P(X < t -\epsilon) = 0.$$ Entonces $A_{n} = \{ X_n > t_0 + \epsilon \}$ y $B_{n} = \{X_n < t_0- \epsilon \}$ . Desde $X_i$ son iid, tenemos $$\sum_{n=1}^\infty P(A_{n}) = \infty = \sum_{n=1}^\infty P(B_{n})$$ lo que implica (a partir de Borel-Cantelli, regla cero-uno) que $$P(A_{n}, i.o.) = 1 = P(B_{n}, i.o.)$$ Eso es, $P(|X_n - t_0| > \epsilon, i.o) = 1$ que nos dice que $X_n$ no converge a.s.